Bruchrechnen 99/99

Bruchrechnen in 25 Abschnitten 1/25

Kleine Lernhilfe zum Bruchrechnen

Auf dieser Seite mit Verlinkungen werden Grundbegriffe und Rechenoperationen zum Bruchrechnen dargestellt.

Hier wird sehr anschaulich erklärt, was es mit Brüchen so auf sich hat, und wie man damit rechnet....

Di-Schi Entertainment dankt Mathefuchs für diese Erklärungen

na dann wollen wir mal: .......oder keine Lust....... dann klick hier zurück zur Auswahl

- Bruchrechnen (1) / Bruchteile von ganzen Zahlen

- Bruchrechnen (2) / Sortieren von Brüchen nach der Größe

- Bruchrechnen (3) / Rechentrainer für die Grundrechenarten

- Bruchrechnen (4) / Kürzen u. Erweitern

Sollten irgendwo Fehler bemerkt werden, bitte Bescheid geben: mathefuchs@gmx.de

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Stichwörter (durch Anklicken springt man zu der besagten Stelle..)

Was ein Bruch ist

Was Brüche darstellen

Bruchteile eines Ganzen

Wie groß ein Bruch ist

unechte und gemischte Brüche

Umwandlung von unechten in gemischte Brüche

Rechenarten mit Brüchen

Kürzen und Erweitern von Brüchen

gemeinsame Teiler und Vielfache

Bruchrechnen mit Taschenrechner

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1) Was ein Bruch ist / Welche Brüche es gibt

Ein Bruch besteht aus einer ganzen Zahl über dem Bruchstrich und einer ganzen Zahl unter dem Bruchstrich. Die Zahl darüber heißt Zähler, die Zahl darunter Nenner des Bruches.

Zähler

Bruchstrich

Nenner

sprich: Zwei-Drittel

Je nachdem, ob der Zähler kleiner oder größer ist als der Nenner, nennt man den Bruch echter oder unechter Bruch.

5

echter Bruch: Zähler kleiner als Nenner

2

unechter Bruch: Zähler größer als Nenner

Einen unechten Bruch kann man auch noch anders schreiben, nämlich als ganze Zahl mit einem echten Bruch. Diese Schreibweise nennt man gemischter Bruch.

2

ist dasselbe wie

sprich: Sieben-Halbe ist gleich Drei-Ein-Halb

Wie man einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch verwandelt (und umgekehrt), wird später erläutert.

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2) Was Brüche darstellen

Ein Bruch stellt immer den Teil eines Ganzen dar. Deshalb unterscheidet sich ein Bruch von einer ganzen Zahl. Ein Bruch ist keine ganze Zahl, sondern nur ein Teil einer ganzen Zahl.

Mit Hilfe von Brüchen können Teile eines Ganzen zahlenmäßig dargestellt werden.

Beispiel:

Darstellung von Teilen eines Ganzen. Ein A4 Blatt wird in der Mitte einmal gefaltet.

Das A4 Blatt ist ein Ganzes, das in zwei Hälften geteilt wird. Das kann mit Hilfe von Brüchen zahlenmäßig dargestellt werden. Statt Ganzes kann man den Bruch Ein-Eintel (= Eins) schreiben, statt Hälfte kann man den Bruch Ein-Halb schreiben.

Es gilt also folgende Rechnung:

+

=

sprich: Ein-Halb plus Ein-Halb ist gleich Eins

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Das einmal gefaltete A4 Blatt kann wieder gefaltet werden und so fort. Jedesmal entstehen bestimmte Teile des Ganzen.

In Brüchen ausgedrückt (vor der Faltung):

sprich: Eins Ein-Halb Ein-Viertel Ein-Achtel

8

Wenn man das A4 Blatt 3 mal gefaltet hat, dann hat es die Größe von (Ein Achtel) der Gesamtgröße.

Wie kommt man auf die 8 im Nenner?

Wenn man das A4 Blatt wieder auf seine ganze Größe auseinanderfaltet, erkennt man, daß das Ein-Achtel-Blatt genau 8 mal in das ganze Blatt passt.

Entsprechend passt das Ein-Viertel-Blatt 4 mal und das Ein-Halb-Blatt 2 mal in das ganze Blatt.

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3) Ermitteln von Bruchteilen eines Ganzen mit Hilfe von Brüchen

So wie das A4 Blatt kann man auch andere ganze Sachen teilen, z.B. einen Kuchen, eine Menge Nägel, eine Handvoll Pfennige usw. Spricht man von "teilen", denkt man sofort an das Teilen in zwei Hälften. In der Mathematik bedeutet "teilen" die Zerlegung eines Ganzen (besser gesagt: einer ganzen Menge) in eine beliebige festgelegte Anzahl von Teilen. Bei einem Wettkampf spricht man manchmal auch von Bruchteilen einer Sekunde. Das Wort "Bruchteil" gibt genau das Wesen eines Bruches wieder: er stellt den Bruchteil eines Ganzen / einer ganzen Menge dar.

Im Nenner eines Bruches findet man immer die Anzahl der Teile, in die das Ganze zerlegt wird. (Weil Mathematik mit Denken zu tun hat, wird natürlich immer nur gedanklich zerlegt.) Der Zähler dagegen gibt an, wie viele von den Zerlegungs-Teilen für die Rechnung genommen werden.

Beispiel

Zwei-Drittel

3

Die ganze Menge wird in 3 Teile zerlegt,

davon werden 2 Teile für die Rechnung genommen.

Drei-Siebtel

7

Die ganze Menge wird in 7 Teile zerlegt,

davon werden 3 Teile für die Rechnung genommen.

Ein-Fünfzehntel

15

Die ganze Menge wird in 15 Teile zerlegt,

davon wird 1 Teil für die Rechnung genommen.

9

Acht-Neuntel

25

Fünfzehn-Fünfundzwanzigstel

10

Sieben-Zehntel

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Wenn man also mit einer Bruchrechnung den Bruchteil eines Ganzen berechnen will, dann muss man folgende Schritte tun:

1) Feststellen, wie groß der Nenner ist

2) Die ganze Menge gedanklich in so viele Teile zerlegen, wie der Nenner angibt

3) Feststellen, wie groß der Zähler ist

4) Von diesen Teilen genau soviele Teile nehmen, wie der Zähler angibt

Beispiel:

von einem Ganzen, z.B. von einer Pizza

1) Der Nenner ist 4, also

2) Die Pizza in 4 Teile teilen

3) Der Zähler ist 3, also

4) Von den 4 Pizzateilen 3 Teile nehmen.

Damit die ganze Bruchrechnung überhaupt einen Sinn ergibt, kann man natürlich fragen: Wie viel ist denn nun Drei-Viertel von einer Pizza?

Um diese Frage zu beantworten, muss man ein paar Dinge wissen.

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Will man den Bruchteil eines Ganzen / einer ganzen Menge berechnen, muss man wissen, wie groß das Ganze / die ganze Menge tatsächlich ist.

Bei einer Pizza könnte man das Gewicht messen und als Ganzes zahlenmäßig ausdrücken, z.B. 400 Gramm. Will man nun Drei-Viertel der Pizza berechnen, dann muss man 400 Gramm durch 4 teilen und das Ergebnis mal 3 nehmen, also 3 von den insgesamt 4 Teilen.

Man kann die Pizza aber auch geometrisch als eine Kreisscheibe betrachten und diesen Kreis in 4 gleich große Kreissegmente teilen.

Das Bruchrechnen gehört zu den wichtigsten und ältesten Rechenarten der Menschen. Eine Pizza z.B. in 4 annähernd gleiche Teile zu teilen, schafft man mit Augenmaß. Selbst wenn es 9 Leute sind (und eine Riesenpizza), wäre es noch einfach. (Tipp: zuerst Dritteln und dann jedes Drittel ... )

Das Bruchrechnen ist auch für eine andere Art von Teilung notwendig geworden. Jeder kennt die Geschichten von Räuberbanden, die sich die Beute teilen. Dabei bekam jeder seinen Anteil und der Räuberhauptmann bekam natürlich etwas mehr als die anderen. Angenommen, es sind 5 Räuber in einer Bande, 4 einfache und 1 Hauptmann. Die Abmachung ist, dass der Hauptmann doppelt soviel bekommt wie ein einfacher Räuber. Beim letztenmal konnte leider nur eine Pizza erbeutet werden. Wie wird die Pizza nun räubermäßig gerecht geteilt?1

Das Berechnen von Bruchteilen eines Ganzen ist eigentlich schon reines Bruchrechnen, und zwar Multiplizieren mit Brüchen. Es soll nochmal verdeutlicht werden.

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Wie man wirklich eine Pizza in 4 gleiche Teile teilt oder 23 Äpfel in 6 gleichgroße Mengen Äpfel aufteilt, das ist immer ein technisches Problem. Für das Bruchrechnen kann das ziemlich egal sein. In der Mathematik werden die Aufgaben vereinfacht, indem für Gegenstände stellvertretend Zahlen verwendet werden.

Will man den Bruchteil eines Ganzen berechnen, dann muss man eigentlich eine Divisionsaufgabe lösen, denn man teilt ja eine Zahl durch eine andere Zahl.

Angenommen, die Pizza wiegt 400 g. Bei 4 Personen bekommt jeder Ein-Viertel von 400 g. Also rechnet man: 400 dividiert durch 4 ist gleich 100.

400

100 ist der 4. Bruchteil von 400.

Man kann dieselbe Aufgabe nun auch als Bruchrechnung schreiben, allerdings mit einem entscheidenden Unterschied: aus der Division wird eine Multiplikation

.

400

Jetzt lautet die Aufgabe: 400 mal Ein-Viertel ist gleich 100.

Das ist nicht schwer zu verstehen, wenn man bedenkt, dass man Ein-Viertel, also den vierten Teil von 400 berechnet. Würde man Einmal das Ganze rechnen, dann bekommt man 400, also 400 mal 1. Man berechnet aber nicht das Ganze, sondern nur einen Teil des Ganzen, nämlich genau einen vierten Teil. Genauso gut könnte man den 8. Teil, den 31. Teil oder den 4673591. Teil der Pizza berechnen. (Kann ja sein, dass mehr Gäste als erwartet zur Party gekommen sind.)

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Man kann sich merken:

Ein Bruch(teil) eines Ganzen ist immer der Bruch(teil) mal das Ganze.

So kann man aus jeder Bruchteil-Aufgabe mit einem Bruch eine einfache kombinierte Divisions- und Multiplikationsaufgabe machen.

3

3

4

4

von 400 g sind demnach mal 400 g

was dasselbe ist wie:

( 400 g dividiert durch 4 ) mal 3

Das entspricht genau wieder dem Schema, das weiter oben schon genannt wurde:

Das Ganze wird durch den Nenner des Bruches geteilt und von den Teilen werden genau soviele genommen, wie der Zähler beträgt.

Wenn man Drei-Viertel von der 400 g - Pizza ausrechnet, erhält man als Ergebnis 300 g, nämlich 3 von den 4 Teilen mit je 100 g.

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Man kann natürlich jede beliebige Zahl als ein Ganzes einsetzen und davon jeden beliebigen Bruchteil berechnen. Davon kann man jede Menge Aufgaben machen, die alle dasselbe Schema haben:

Berechne den Bruchteil von einer Zahl

3

Beispiel:

4

Berechne (Drei-Viertel) von 36

Lösung: 36 4 (Nenner) = 9

3

4

9 3 (Zähler) = 27

von 36 = 27

Auch diese Rechnung kann noch vereinfacht werden. Schaut man sich die Rechenregeln für die Multiplikation von Brüchen an, dann sieht man, dass bei der Multiplikation immer die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert werden.

Diese Rechenweise kann auch angewendet werden, wenn der Bruchteil eines Ganzen (einer ganzen Zahl) berechnet wird. Denn man kann jede ganze Zahl als Bruch schreiben mit dem Nenner 1.

4

4

So braucht man immer bloß die Zähler zu multiplizieren und kann den Nenner einfach übernehmen. Allerdings muss man das Ergebnis meistens noch kürzen.

Zum Üben von Aufgaben dieser Art steht auf "Alexander's Mathematik Seite" <www.geocities.com/mathefuchs> eine Excel-Datei "Bruchteile von ganzen Zahlen", wo beliebig viele solche Aufgaben gelöst werden können.

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4) Wie groß ein Bruch ist

Jeder Bruch hat eine eigene Größe, oder besser gesagt, einen eigenen Wert. Das sieht man auch daran, dass manche Brüche größer sind als andere und manche kleiner. In dieser Hinsicht ähneln die Brüche den ganzen Zahlen. Jeder Bruch hat also einen Eigenwert.2

Wie kann man herausfinden, wie groß ein Bruch selbst ist? Ganz einfach, man nimmt als Ganzes die 1 und berechnet den entsprechenden Bruch(teil) von 1. Die Aufgabe sieht dann schematisch so aus:

Zähler

Nenner

von 1

wobei man für den Zähler und Nenner des Bruches jede beliebige ganze Zahl einsetzen kann.

4

Beispiel:

5

5

von 1 = ( 1 ) =

Das scheint eine ziemlich sinnlose Rechnung zu sein, aber nur scheinbar.

Wenn man solche Aufgaben ausrechnet, wird man bemerken, dass man eigentlich auch anders und vor allem etwas kürzer rechnen kann. Nämlich indem man bei jedem Bruch immer nur den Zähler durch den Nenner dividiert.

Der Bruchstrich stellt in einer anderen Schreibweise eigentlich immer das Divisionszeichen (Doppelpunkt) dar. Jeder Bruch ist somit eine nicht-ausgeführte Division von zwei ganzen Zahlen.

Um die Größe (den Eigenwert) eines Bruches zu bestimmen, kann man die Divisions-Prüfung benutzen: der Zähler wird durch den Nenner dividiert.

Bei allen echten Brüchen (wo also der Zähler kleiner ist als der Nenner) liegt das Ergebnis der Division von Zähler durch Nenner immer zwischen 0 und 1. Und das ist, wenn man es recht bedenkt, eine sehr erstaunliche Tatsache.

Wenn man für den Zähler eine beliebige ganze Zahl einsetzt und für den Nenner eine beliebige ganze Zahl, die größer ist als der Zähler, dann ist dieser Bruch garantiert größer als 0 und garantiert kleiner als 1. Man braucht es noch nicht einmal auszurechnen, um das sagen zu können.

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4

Aber halt ! Das Ergebnis der Aufgabe von der ganzen 400 g - Pizza war 300 g und das

3

liegt doch nicht zwischen 0 und 1 !!!

4

Das ist eben der Unterschied, den man beachten muss. Der Bruch hat wie jeder Bruch

einen Eigenwert, den man - wie eben gesehen - ermittelt, indem man den Zähler durch den Nenner dividiert. Ohne es wirklich auszurechnen, weiß man vorher ganz gewiss, dass Drei-Viertel größer als 0 und kleiner als 1 ist (Es ist 0,75), weil das ein echter Bruch ist.

So kann man also sagen, der Bruch selbst ist Drei-Viertel groß, deswegen heißt er ja auch so und nicht etwa Sieben-Neuntel. In Gedanken kann man hinzufügen: Drei-Viertel von 1.

Und nun kommt die kleine Denkschwierigkeit.

Drei-Viertel von 1 ist genau Drei-Viertel. Aber wieviel ist Drei-Viertel von 400 ? Natürlich muss das größer sein als 1. Und Drei-Viertel von 2500 ist noch größer und Drei-Viertel von 21937 ist wieder größer.

Das grenzt allerdings ein wenig an Zauberei. Obwohl Drei-Viertel selbst immer gleich Drei-Viertel bleibt, wächst doch der Drei-Viertel Bruchteil vom Ganzen im selben Maß wie das Ganze wächst. Wenn man das wirklich verstanden hat, dann kann man die ganze Bruchrechnung verstehen.

Je größer das Ganze ist, dessen Bruchteil man berechnet, um so größer wird zahlenmäßig auch der Bruchteil.

Man kann sich merken, dass es neben dem Eigenwert eines Bruches auch einen Verhältniswert3 gibt.

Der Verhältniswert gibt den Eigenwert in Bezug auf ein (beliebig großes) Ganzes / auf eine ganze Zahl an.

4

Was für gilt, das gilt natürlich auch für jeden anderen Bruch. Dieser Bruchteil-Zuwachs

spielt z.B. bei der Prozent- und Zinsrechnung eine Rolle, die im Grunde auch eine Art Bruchrechnung sind.

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5) Unechte und gemischte Brüche

Bis jetzt haben wir nur echte Brüche untersucht. Schauen wir uns deshalb nun die unechten Brüche an, also solche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner.

8

Beispiel:

3

(Acht-Drittel)

Um zu ermitteln, welchen Eigenwert der Bruch hat, benutzen wir die Divisions-Prüfung und dividieren den Zähler durch den Nenner.

8 dividiert durch 3 ist gleich 2,6666... Acht-Drittel ist also größer als 1. Das kann verallgemeinert werden:

Unechte Brüche (also solche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner) sind immer größer als 1.

Das ist auch leicht einzusehen, weil offensichtlich der Nenner immer im Zähler enthalten ist, auch wenn man nicht sofort sieht, wie oft er enthalten ist. Unechte Brüche können sogar riesig groß werden, wenn der Zähler sehr groß und der Nenner sehr klein wird.

Unechte Brüche erfüllen eigentlich nicht so richtig den Zweck von Brüchen, nämlich Bruchteile eines Ganzen darzustellen. Drei-Achtel z.B. ist sogar mehr als ein Ganzes. Dennoch können auch unechte Brüche als Bruchteile eines Ganzen angesehen werden. (Tipp: Wer sich dafür interessiert, sollte sich zuerst mit der inneren und äußeren Teilung von Strecken beschäftigen.)

Ein unechter Bruch wird oft umgewandelt in eine Schreibweise, die einen echten Bruch enthält. Diese Schreibweise nennt man gemischter Bruch, und zwar deshalb, weil hier ein unechter Bruch und eine ganze Zahl zusammen stehen, sozusagen als Mischform.

sprich: Zwei-Zwei-Drittel

Taschenrechner zeigen unechte Brüche generell als gemischte Brüche an.

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6) Umwandlung eines unechten Bruches in einen gemischten Bruch (und umgekehrt)

Feststellen, wie oft der Nenner im Zähler (ganz) enthalten ist. Das Ergebnis ist die ganze Zahl des gemischten Bruches.

Beispiel:

bei Acht-Drittel ist die 3 genau 2 mal in der 8 enthalten, also wird die 2 zur ganzen Zahl des gemischten Bruches.

Der Rest, der vom Nenner bei dieser Rechnung übriggeblieben ist, wird zum Zähler des echten Bruches.

Beispiel:

bei Acht-Drittel bleibt vom Nenner 2 übrig, diese 2 wird Zähler von Zwei-Drittel.

Der Nenner des echten Bruches ist immer der Nenner des ursprünglichen unechten Bruches. Der Nenner wird also einfach unverändert übernommen.

Beispiel:

bei Acht-Drittel bleibt die 3 auch Nenner im gemischten Bruch.

3

3

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Schema zum Umwandeln eines unechten in einen gemischten Bruch

4

Feststellen, wie oft der Nenner im Zähler enthalten ist. Das Ergebnis ist die ganze Zahl vom gemischten Bruch.

4 ist 2 mal in 9 enthalten.

1

Dabei bleibt vom Nenner ein Rest 1. Dieser Rest wird

Zähler des echten Bruches.

Der Nenner des echten Bruches wird

vom unechten Bruch übernommen

Schema zum Umwandeln eines gemischten Bruches in einen unechten Bruch

4

ganze Zahl mit dem Nenner des echten Bruches multiplizieren.

2 mal 4 = 8

Das Ergebnis wir zum Zähler des echten Bruches addiert.

9

8 plus 1 = 9

4

Das Ergebnis ist der Zähler des unechten Bruches.

Der Nenner wird vom echten Bruch übernommen.

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7) Rechenarten mit Brüchen

Die meisten Bruchrechnungs-Aufgaben sind Rechenoperationen mit den Eigenwerten von Brüchen. Dabei werden Brüche

1) addiert

2) subtrahiert

3) multipliziert

4) dividiert

Addition von Brüchen

Brüche werden addiert, indem man die Nenner auf einen gemeinsamen Nenner bringt und dann die erweiterten Zähler addiert. Die Nenner auf einen gemeinsamen Nenner bringen, nennt man auch gleichnamig machen. Der gemeinsame Nenner heißt Hauptnenner.

Die einfachste Methode, einen Hauptnenner zu finden ist, die Einzelnenner miteinander zu multiplizieren. Dieses Ergebnis ist immer ein Hauptnenner.

1

3

Beispiel

2

4

+ Hauptnenner: 4 mal 2 = 8

Um für die Zähler das richtige Ergebnis der Addition zu ermitteln, werden die Zähler und Nenner beider Brüche über-Kreuz multipliziert und anschließend die Produkte addiert.

Die über-Kreuz Rechnung hat immer diese Reihenfolge: Zähler links oben mal Nenner rechts unten plus Nenner links unten mal Zähler rechts oben.

2

4

3 mal 2 plus 4 mal 1 = 10

Das Ergebnis ist der Zähler im Summen-Bruch. Der Nenner ist der Hauptnenner.

3

1

10

8

2

4

+ =

Bei dieser Additions-Methode muss man folgendes beachten:

- Das Ergebnis muss eventuell noch gekürzt werden

- Das Ergebnis muss eventuell in einen gemischten Bruch umgewandelt werden.

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Subtraktion von Brüchen

Brüche werden subtrahiert, indem man die Nenner auf einen gemeinsamen Nenner bringt und dann die erweiterten Zähler subtrahiert. Den Hauptnenner kann man auf dieselbe Weise ermitteln wie bei der Addition. Auch die über-Kreuz Rechnung der Zähler und Nenner kann angewendet werden. Allerdings müssen bei der Subtraktion die Produkte voneinander subtrahiert werden.

Die über-Kreuz Rechnung hat auch hier diese Reihenfolge: Zähler links oben mal Nenner rechts unten minus Nenner links unten mal Zähler rechts oben.

3

1

4

2

Hauptnenner: 4 mal 2 = 8

2

4

3 mal 2 minus 4 mal 1 = 2

Bei der Subtraktion muss man folgendes beachten:

- Das Ergebnis muss eventuell noch gekürzt werden

- Das Ergebnis muss eventuell in einen gemischten Bruch umgewandelt werden.

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Multiplikation von Brüchen

Brüche werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert.

3

1

4

.

3 mal 1 = 3

4 mal 2 = 8

8

2

4

Auch bei der Multiplikation gilt:

- Das Ergebnis muss eventuell noch gekürzt werden

- Das Ergebnis muss eventuell in einen gemischten Bruch umgewandelt werden.

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Division von Brüchen

Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. Die Division wird also auf eine Multiplikation zurückgeführt.

Den Kehrwert eines Bruches bildet man, indem der Zähler und der Nenner vertauscht werden.

2

4

1

2

1

2

Kehrwert von ist

Auch bei der Division gilt:

- Das Ergebnis muss eventuell noch gekürzt werden

- Das Ergebnis muss eventuell in einen gemischten Bruch umgewandelt werden.

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8) Kürzen und Erweitern von Brüchen

Um das Kürzen und Erweitern zu verstehen, muss man folgendes wissen:

Brüche können gleich groß sein, obwohl sie verschiedene Zähler und Nenner haben.

15

9

3

Beispiel:

=

=

Um zu erkennen, dass diese drei Brüche gleich groß sind, also ein und denselben Eigenwert haben, braucht man bloß die Divisions-Prüfung anzuwenden, also den Zähler durch den Nenner zu dividieren. Der Eigenwert beträgt im Beispiel immer 0,75

Man kann zu einem Bruch beliebig viele Brüche bilden, die denselben Eigenwert haben, aber andere Zähler und Nenner. Das geht so:

Man multipliziert den Zähler und den Nenner mit ein und derselben Zahl. Diesen Vorgang nennt man Erweitern.

Beispiel:

9

Erweitern mit 3

7 mal 3 = 21

9 mal 3 = 27

Jeder Bruch kann zu unendlich vielen gleich großen Brüchen erweitert werden.

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Hat man einen Bruch erweitert, kann man die Rechnung natürlich auch wieder rückgängig machen.

Man dividiert Zähler und Nenner durch ein und dieselbe Zahl. Diesen Vorgang nennt man Kürzen.

36

Kürzen mit 4

28 dividiert durch 4 = 7

36 dividiert durch 4 = 9

Zu allen gleich großen Brüchen gibt es genau einen Bruch, der sich nicht weiter kürzen lässt.

Allgemein wird ein Bruch immer soweit wie möglich gekürzt.

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9) Erweitern zum Hauptnenner

Man kann auch verschieden große Brüche erweitern. Diese Erweiterung ist besonders wichtig bei der Suche nach einem Hauptnenner.

3

Beispiel:

Man findet einen Hauptnenner, wenn man beide Brüche so erweitern kann, dass ein und derselbe Nenner herauskommt. Da die beiden Brüche verschieden groß sind, müssen die Erweiterungs-Faktoren auch verschieden sein. Man muss also den einen Bruch mit einer Zahl und den anderen Bruch mit einer anderen Zahl erweitern.

3

9

24

8

wird erweitert (multipliziert) mit 3 zu

16

2

24

3

wird erweitert (multipliziert) mit 8 zu

Bekanntlich ist der Hauptnenner wichtig bei der Addition und Subtraktion von Brüchen.

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10) gemeinsame Teiler und gemeinsame Vielfache

Während man einen Bruch beliebig erweitern kann, gibt es Brüche, die man nicht kürzen kann.

Kürzen ist nur dann möglich, wenn Zähler und Nenner einen und denselben gemeinsamen Teiler haben. (Informiere dich über: größter gemeinsamer Teiler von Zahlen)

Umgekehrt kann man zu zwei verschieden großen Brüchen ein gemeinsames Vielfaches suchen. Dabei spielt vor allem ein Vielfaches der Nenner eine Rolle (wegen dem Hauptnenner).

Haben zwei Nenner ein gemeinsames Vielfaches, dann können auch zwei Faktoren gefunden werden, mit denen die Brüche jeweils erweitert werden. Allerdings ist das kleinste gemeinsame Vielfache oft das Produkt beider Nenner. (Informiere dich über: kleinstes gemeinsames Vielfaches von Zahlen)

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11) Bruchrechnen mit Taschenrechner

Auf dem Taschenrechner gibt es für das Bruchrechnen spezielle Tasten. Die wichtigste sieht meistens so oder ähnlich aus:

_{a b / c}

Diese Taste steht für den Bruchstrich. Bei der Eingabe eines Bruches gibt man zuerst den Zähler (als Zahl) ein, drückt dann diese Taste und gibt anschließend den Nenner ein.

So können auch gemischte Brüche eingegeben werden, indem zwischen der ganzen Zahl, dem Zähler und dem Nenner jedesmal diese Taste gedrückt wird.

Beim Drücken der Taste erscheint ein kleiner Haken, der ungefähr so aussieht:

Nach der korrekten Eingabe von Brüchen können damit die Rechenoperationen ausgeführt werden.

1 Die Pizza muss in 6 gleiche Teile geteilt werden. Jeder einfache Räuber bekommt einen Teil, also Ein-Sechstel, der Hauptmann bekommt 2 Teile, also Zwei-Sechstel, was Einem-Drittel entspricht.

2 Dieses Wort wird nicht in der Schule benutzt, es soll nur dem besseren Verständnis dienen.

3 Auch dieser Begriff wird nicht in der Schule verwendet; er soll zum besseren Verständnis dienen.