ZinsMath

Version 3.1.1

Mit Hinweisen zur Renditeanalyse beliebiger Zahlungsströme und dem Effektivzinssolver ZinsMathEZ

$\begin{figure} \centering\epsfig{file=b, width=250pt} \end{figure}$

Torsten Wehner

Wolfschlugen

Version vom ..

Vorwort

Eine Aufgabe der Finanzmathematik ist es Zahlungs- bzw. Geldströme zu beschreiben und möglichst auch Vergleichbarkeit und Transparenz zu entwickeln.

Interessiert man sich für moderne Anlageformen, ist auf Grund der oftmals zu berück-
sichtigenden Auswirkungen von Zins und Zinseszins ein Taschenrechner nicht mehr das geeignete Mittel um Übersicht zu wahren und die finanzmathematischen Vorgänge nachvollziehen zu können. Insbesondere die Renditeberechnung, bei der Zahlungsströme miteinander verglichen werden, ist ohne rechentechnische Unterstützung eher kaum denkbar.

Das Programm ZinsMath beschäftigt sich mit dieser Problematik und versucht dem interessierten Leser dieser Seiten und Anwender der Software dieses zum Teil nicht einfache Gebiet der Mathematik näher zu bringen. ZinsMath erhebt dabei nicht den Anspruch alle nur denkbaren Spar- und Finanzierungsformen zu berücksichtigen. Vielmehr soll das Paket eine Hilfe sein entsprechende Angebote von Banken und Versicherungen nachzuprüfen und zu vergleichen.

Die Software ist dialogorientiert aufgebaut, somit kann auf einzelne Berechnungsalgorithmen auch in unterschiedlichen Kombinationen zugegriffen werden. Nach einiger Zeit der Anwendung wird man genannte Modularität zu schätzen wissen und auch komplizierteste finanzmathematische Aufgaben lösen können - wenn auch schrittweise.

Die Stärken des Programms ZinsMath zeigen sich dabei immer dort, wo numerische Lösungsverfahren zur Bestimmung einer gesuchten Größe gefragt sind. Für alle Berechnungen dieses Programms gilt, dass Algorithmen eingesetzt werden, die sich neutral verhalten. Insofern ist der Wert eines Kapitalbetrages nur als Funktion der Zeit und des anzuwendenden Zinssatzes zu beurteilen. ZinsMath folgt somit ausschließlich dem Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik und kann damit die Wünsche einer großen Zahl von Anwendern und Interessierten erfüllen.

ZinsMath kann somit eine gute Ergänzung zu den bekannten Office-Paketen darstellen. Gerade die Angebote dieser Software-Hersteller beinhalten heute Features wie Kontoverwaltung, Online Banking und so weiter. Finanzmathematische Kalkulationen, angepasst an den deutschen und europäischen Markt, lassen diese Pakete eher vermissen.

In diesem Zuge wünsche ich Ihnen viel Spaß und möglichst viele "`Aha-Effekte"' beim Ausprobieren der Software ZinsMath in der neuen Version 3.0.

ZinsMath - rechnen Sie mit uns!

Torsten Wehner Wolfschlugen am October 5, 2006

Softwarebezug und Registrierung

Die Software ZinsMath inklusive dieser Dokumentation kann über das Internet unter folgender Adresse bezogen werden:

http://www.zinsmath.dewww.zinsmath.de oder alternativ http://www.effektivzins-online.dewww.effektivzins-online.de

Zur Freischaltung und dauerhaften Entriegelung der Software benötigen Sie ein Passwort. Um ein solches Paßwort für Sie generieren zu können, benötigen wir einige Angaben von Ihnen und der von Ihnen verwendeten Hardware.

Für die Registrierung bieten wir Ihnen folgende Möglichkeiten an:

http://ftp.zinsmath.de/homepage/meine.htmOnline Registrierung via ZinsMath http://www.zinsmath.deHomepage. Geben Sie einfach alle benötigten Daten in das Formular ein und wir setzten uns umgehend mit Ihnen in Verbindung.
Verwenden Sie das Tool ZMREG. Dieses Programm liegt dem Installationspaket bei und generiert im ZinsMath Arbeitsverzeichnis eine Datei namens [stunde:minute:sekunde]zmreg.txt. Diese ASCII Datei wird via FTP Protokoll auf den ZinsMath Server übertragen¹
Oder senden Sie uns mit normaler Post das von Ihnen ausgefüllte http://ftp.zinsmath.de/download/zm3order.pdfRegistrierformular zu. Ein Registrierformular liegt ebenfalls dem Installationspaket bei.

Bitte nehmen Sie auch zur Kenntnis, dass Sie für Online-Registrierungen 10 % Rabatt erhalten. Bei weitergehenden Fragen wenden Sie sich bitte an:

Herrn
Torsten Wehner
ZinsMath
Lerchenstraße 23
72649 Wolfschlugen
Tel: 0 70 22 - 50 26 05
Fax: 0 69 - 1 33 04 05 25 30
Mobil: 0170 - 3 01 27 85
Skype: callto://zinsmathCall to Wehner
Email: mailto:wehner@zinsmath.de?subject=Hotline ZinsMathwehner@zinsmath.de

Sollte Ihnen der Zugriff auf das Internet nicht möglich sein, lassen wir Ihnen gern gegen Selbstkostenerstattung von EUR 8.00 eine CD - Rom mit der aktuellen ZinsMath Testversion zukommen.

Gern wollen wir auch erwähnen, dass wir gemäß unseren Vertragsbedingungen eine Hotline unterhalten.

Die Weitergabe der Software ZinsMath in Version 3.0 wird ausdrücklich erwünscht. Wir bitten Verlage und Redaktionen im Falle einer Veröffentlichung der Software ZinsMath um Überlassung einer Referenz-CD.

Danksagung

Die ZinsMath Geschichte reicht bis in das Jahr 1993 zurück. Grund für eine solche Softwareentwicklung war einerseits das Interesse in die Windows-Programmierung einzusteigen und im Rahmen meines Studiums an der TU Dresden die entsprechenden Werkzeuge kennenzulernen. Zum Anderen existierte damals schon ein Interesse an finanzmathematischen Vorgängen. Bekanntlich sind die finanziellen Spielräume für Studenten eher begrenzt, dies provozierte damals die Frage "`Was machen die mit meinem Geld?"'. Die Fragestellung exsistiert heute noch!

Nach einigen Pre-Releases konnte 1997 die ZinsMath Version 2.2b veröffentlicht werden. Dieser Releasestand ist auch noch Basis der aktuellen Version(en). Bekanntlich kann eine Software auch dann nur erfolgreich sein, wenn sie publiziert und einem möglichst großem Kundenkreis vorgestellt wird. In diesem Sinne muss Herrn Carsten Scheibe, freier Autor für diverse Computerzeitschriften und Chef des Redaktionsbüros http://www.typemania.deTypemania, gedankt werden. Durch die Veröffentlichungen zum Beispiel in Shareware Light und anderen Zeitschriften ist ZinsMath bekannt geworden.

Insbesondere hat es uns sehr gefreut, dass auch die Zeitschrift http://www.heise.de/ct/shareware/c't in der Ausgabe 14 des Jahrganges '99 das Programmpaket ZinsMath vorgestellt hatte. "`Das Programm benutzt exakte mathematische Methoden..."'. Eine solche Referenz dieser Zeitschrift macht stolz und hat auch den Bekanntheitsgrad der Software deutlich gesteigert.

Besonderer Dank gilt aber auch den Lizenznehmern der bisherigen Versionen. Das Shareware - Prinzip kann nur dann funktionieren, wenn es hinreichend viele ehrliche Anwender gibt, die auch bereit sind eine eher geringe Lizenzgebühr zu zahlen. Lizenznehmer älterer Versionen wenden sich bitte via Email an Herrn Wehner, siehe Seite , um ein kostenloses Update und den Schlüssel zur Freischaltung der jeweils aktuellen Release 3.0 zu beziehen.

Eine Software ist nur so gut wie ihre Dokumentation. Viele Anwender haben eine Dokumentation gefordert. Das Gegenlesen von etwa 50 Seiten stellt keine besondere Herausforderung dar. Die Zusammenhänge bei der Korrektur zu berücksichtigen und die Berechnungsformeln extern zu prüfen, erfordert Interesse und nicht unerheblichen Zeitaufwand. Für die vielen, sachlich richtigen Änderungsvorschläge zur ZinsMath Dokumentation möchte ich Herrn Dipl.-Ing. Rüdiger Mancke herzlich danken.

Letztlich möchte ich mich bei Herrn Schönherr für seine Unterstützung bedanken. Er ist unser Soft- und Hardware Experte. Ihm verdanken wir die Pflege und Entwicklung unserer http://www.zinsmath.deHomepage, die Setup-Gestaltung und die Systemsicherheit unserer Software. Ich darf mich auch bei Frau Rudolph für die Unterstützung bezüglich der Gestaltung dieser Dokumentation bedanken.

Vertragsbedingungen

Stand: October 5, 2006

Eigentum
Die Programme ZinsMath, ZinsMathEZ und ZinsMathEZ 4 Excel, im folgenden auch als "`Software"' bezeichnet, sind Eigentum von Herrn Torsten Wehner, Lerchenstraße 23, D-72649 Wolfschlugen. Herr Wehner tritt als Lizenzgeber auf.
Vertragsgegenstand
Der Lizenzgeber räumt dem Lizenznehmer das einfache, nicht ausschließliche und ohne Zustimmung des Lizenzgebers nicht übertragbare Recht ein das auf Datenträger aufgezeichnete Softwareprodukt auf einem Rechner zu nutzen (Lizenz). Lizenznehmer kann eine Firma oder eine natürliche Person sein.
Bestellung
Die Bestellung wird erst mit Eingang (auch über elektronische Medien) eines ausgefüllten Bestellformulars beim Lizenzgeber wirksam. Als vereinbart gilt der bei Eingang der Bestellung beim Lizenzgeber gültige Preis, sofern nicht ein anderer Preis ausdrücklich vereinbart wurde.
Testversion / Verkauf über Dritte
Testversion ist die auf 5 Programmstarts beschränkte Version des Programms. Sie dient allein zum Test der Hardware des Lizenznehmers in dessen eigener Verantwortung. Eine Pflicht zum Erwerb wie auch eine Pflicht zur Vergabe der Lizenz für die Vollversion des Programms wird mit einem kostenlosen Erwerb (Download, Zeitschriften etc.) einer Testversion nicht begründet. Wird das Programm hingegen von Distributoren verkauft, besteht für den Käufer das Recht auf Vergabe einer Lizenz.
Lizenzumfang
Der Lizenznehmer ist berechtigt die Software auf einem Arbeitsplatzrechner zu installieren und bestimmungsgemäß zu nutzen. Er ist jedoch nicht berechtigt die Software einem Dritten zu überlassen oder auf sonstige Weise zugänglich zu machen.
Gewährleistung und Verantwortlichkeit
Der Lizenzgeber leistet Gewähr für eine im Sinne der Beschreibung und der Benutzungsanleitung grundsätzlich brauchbare Software und behält sich das Recht vor die Software nach eigenem Ermessen zu korrigieren, zu ändern oder neue Versionen herzustellen.
Der Lizenznehmer ist allein dafür verantwortlich, dass die von ihm eingesetzte Hardware und das hierauf installierte Betriebssystem den vom Programm vorausgesetzten Anforderungen genügt und entsprechend konfiguriert ist, so dass das Programm störungsfrei laufen kann.
Programmpflege
Der Lizenzgeber ist berechtigt das Programm nach eigenem Ermessen zu ändern, an geänderte rechtliche oder technische Vorgaben anzupassen und neue Versionen herzustellen. In diesen Fällen erfolgt eine Anpassung der vom Lizenznehmer genutzten Programmversion (Updating) nur auf dessen Wunsch und nur innerhalb der vom Lizenzgeber jeweils festgesetzten Zeitspanne (Update-Aktion) gegen Zahlung des für das jeweilige Update festgelegten Preises. Einer Anpassung ist nur die der neuen Version unmittelbar vorhergehende Programmversion zugänglich.
Support
Der Lizenzgeber unterhält im Rahmen seiner betrieblichen Möglichkeiten werktäglich Montag bis Donnerstag in der Zeit von 19.00 bis 22.00 Uhr einen telefonischen Auskunftsservice zu Fragen, welche unmittelbar die Nutzung des Programms in seiner aktuellen Version betreffen (Hotline). Anfragen werden nur (fern-)mündlich, nicht jedoch schriftlich beantwortet. Schriftliche Anfragen bleiben daher unbeantwortet.
Haftung
Die Haftung des Lizenzgebers für etwaige bei oder aus Anlass der Nutzung des Programms entstandene Schäden ist beschränkt auf Vorsatz oder grobe Fahrlässigkeit. Die Haftung für Mangelfolgeschäden ist ausgeschlossen.
Zahlungsbedingungen
Die Lieferung des zur Entriegelung des Programms erforderlichen Lizenzcodes erfolgt nur nach Vorkasse. Schecks werden nur erfüllungshalber und nicht an Zahlungs statt angenommen.

Abkürzungsverzeichnis

LV	Lebensversicherung
KLV	Kapitalbildende Lebensversicherung
PAngV	Preisangabenverordnung
AHD	Annuitäten- und Hypothekendarlehen (Kredit)
BB	Bundeszentralbank

List of Figures

List of Tables

Formelzeichen

Kapital in EUR	K
Jahreszins in %	jZ
Jahreszins (als Faktor)	jZF
Monatszins in %	mZ
Monatszins (als Faktor)	mZF
Kreditbetrag bei Ratenkrediten in EUR	G
Bearbeitungsgebühr in %	Gb
Rate eines Ratenkredites in EUR	R
Kaufpreis (Ausgabekurs) in %	C
Kaufpreis in EUR	KP
Auszahlungsbetrag (Dividende) in EUR	D
Rückzahlungskurs in %	Rk
Rückzahlungsbetrag in EUR	RB
Laufzeitindex für Monate	m
Laufzeitindex für Jahre	j
Index (Name) eines Wertpapieres	p
Allgemeiner Integer	i
Jahresnominalzins in %	jnZ
Aufzinsungsfaktor	azF
Rendite in %	Re
Restschuld in EUR	RS
Hilfsfaktor	h
Kreditvolumen (Annuitätendarlehen) in EUR	KV
Anzahl der Raten pro Jahr	rj
Tage bis zur ersten Rate	T
Zinsfestschreibung (Bindung)	ZFS
Tilgungsfreie Jahre	TF
Tilgungsverrechnungen pro Jahr	TV
Anfängliche Tilgung in %	TI
Annuität in EUR	A
Auszahlungskurs Annuitätendarlehen in %	KA
Anlagebetrag in EUR	AB
Kontogutschrift in EUR pro Monat	KGS
Monatlicher Anlagebetrag in EUR	mAB
Zinsgutschrift in EUR	ZG
Monatliche Rente in EUR	mRente

Zinsrechnung

Im Zuge dieses Handbuches wird auf eine Einführung in die Prozent- und Zinsrechnung verzichtet. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser mathematische Formeln interpretieren kann und den Umgang mit Exponenten versteht. Darüber hinaus sollte ein Taschenrechner ohne Probleme bedient werden können.

Es ist allerdings notwendig zur eindeutigen Identifikation der verwendeten Variablen einige Grundgleichungen aufzuschreiben.

Nach [2] ist der Zins ...ein Preis für die Überlassung von Kapital.... Aus historischem Grund spricht man auch heute vorrangig von Jahreszinsen. So wächst ein Kapital K bei jährlichem Zinszuschlag in j Jahren bei Anwendung eines jährlichen Aufzinsungsfaktors jZF auf folgenden Endbetrag:

$\displaystyle K_j=K \cdot jZF^j$

(1)

Der Zins wird in % angegeben. Im Zuge einer praktischen Anwendung rechnet man den Zinssatz jedoch besser in Aufzinsungs- oder Abzinsungsfaktoren um. In Gleichung 1 berechnet sich die Variable jZF somit aus:

$\displaystyle jZF=\frac{jZ}{100}+1$

(2)

Aus Gleichung 1 entnimmt man sofort, dass die Wirkung von Zins und Zinseszins nichtlineare Gestalt annimmt. In der heutigen Finanzwelt spielen aber eher unterjährige Zahlungen eine primäre Rolle. Insofern entsteht sofort die Frage, wie ein Jahreszins in einen Monats- oder gar Tageszins umgerechnet werden kann. Die Division durch 12 eines Jahreszinses zur Ermittlung eines Monatszinses wird in der Praxis oft angewendet, stellt jedoch keine exakte Lösung dar. Vielmehr berechnet sich der monatliche Aufzinsungsfaktor mZF entsprechend Gleichung 3:

$\displaystyle mZF = \sqrt[12]{\frac{jZ}{100}+1}$

(3)

Der monatliche Aufzinsungsfaktor mZF wird auch in weiteren Kapiteln noch eine zentrale Rolle spielen.

Im Folgenden werden wir darauf hinweisen, wenn "`praxisnahe"' Berechnungen von dieser Vorschrift abweichen.

Die Berücksichtigung von unterjähriger Verzinsung kann bei der Beurteilung finanzmathematischer Probleme eine zentrale Rolle spielen. Der Autor des Softwarepakets ZinsMath vertritt folgende Auffassung:

Finden unterjährige Zahlungen statt, muss unterjährig verzinst werden.

Spätestens Abschnitt 6.3 wird jedem Annuitäten und Hypothekennehmer (Wohnungskauf, Grundstückserwerb, das Einfamilienhaus...) zu verstehen geben, dass unterjährige Zinsverrechnung sehr wichtig sein kann, sogar entscheidungstragend ist.

Abbildung 1 zeigt den Zinsverlauf einer Anlage von 100.- EUR über drei Jahre, wobei die Zinsen jeden Monat wieder angelegt werden.

**Figure 1:** Anwendung des Zinssatzes
$\begin{figure} \centering\epsfig{file=mzins,width=80mm} \end{figure}$

In Kapitel 8.2 ist in tabellarischer Form zusammengestellt, wie Jahreszinsen in Monats- oder Tageszinsen umgerechnet werden.

Abschließend sei noch einmal angemerkt, dass genannte Umrechnung immer dann angewendet werden sollte, wenn sich Kontostände durch Wiederanlage unterjährig ändern. Die mathematischen "`Stützstellen"' bleiben gegenüber einer jährlichen Verzinsung jeweils nach Ablauf von 12 Monaten unverändert.

Sparen

Sparen ist wichtig! Jeder Haushalt muss Rücklagen haben um nicht erwartete Ausgaben abzufedern, Engpässe zu überstehen oder Investitionen der Zukunft tätigen zu können. Die Frage, welche Anlageform die richtige ist, hängt daher von den angestrebten Zielen ab.

In Unabhängigkeit, ob strategische Ziele verfolgt werden oder eine Anschaffung in nächster Zeit ansteht, spielt die Frage nach maximaler Rendite des angelegten Geldes eine zentrale Rolle. Somit ist sicherlich "`Omas Sparbuch"' aus Sicht der heutigen Möglichkeiten eher nicht mehr die ideale Sparform.

Sieht man sich auf dem Markt um, wird sehr schnell deutlich, dass die Anbieter mit hohen Gewinnchancen werben. Man muss aber genauso schnell akzeptieren, dass ein in Aussicht gestellter Gewinn von der Risikobereitschaft abhängig gemacht wird. Der Anleger ist also gut beraten, wenn er einen Teil seines Geldes sicher anlegt und mit einem anderen Teil eher risikobehaftete Anlagen wählt. So hat sich beispielsweise gezeigt, dass das Risiko Aktie nahezu gegen Null gefahren werden kann, wenn der Anleger bereit ist (und die Möglichkeiten hat) über lange Zeiträume die Anteile zu halten.²

Der sicherste Weg an der Börse ein kleines Vermögen zu verdienen, ist mit einem großen anzufangen.

Einen idealen Weg zur Anlage Ihres Vermögens kann ZinsMath natürlich auch nicht anbieten. Letztlich können auch steuerliche Aspekte das Entscheidungsverhalten mitbestimmen (manchmal sind Verluste sogar sinnvoll...). In jedem Fall haben Sie aber mit ZinsMath die Möglichkeit entsprechende Angebote zu prüfen und nachzuvollziehen.

Risikoeinflüsse des Marktes können auf Grundlage der Rahmenbedingungen der Finanzmathematik nicht berücksichtigt werden. Es kann aber darauf hingewiesen werden, dass insbesondere die Wertentwicklung von Aktien nicht "`schlimmen"' stochastischen Einflüssen unterliegt, wenn bekannte Werte gekauft werden. Für weitergehende Informationen wird auf Kapitel 4.6 verwiesen. Wer die Möglichkeiten hat, sollte aber auch mal einen "`Noname"' ausprobieren.³

Festgeld (festverzinslich)

Die Anlage "`Festgeld"' spielt auch in gegenwärtigen Zeiten noch eine wichtige Rolle. Grund dafür sind die möglichen kurzen Laufzeiten. Ist man auf einen relativ schnellen Zugriff angewiesen, kann die Form des Festgeldes ein geeignetes Sparmodell darstellen. Für gewöhnlich laufen Festgeldverträge über ganze Monate, aber auch die Zinsfestschreibung über einige Tage ist üblich. Die Berechnung gestaltet sich recht einfach, da die garantierten Zinserträge zunächst auf ein Jahr berechnet werden und anschließend anteilmäßig pro Monat gutgeschrieben werden.

Oftmals werden die taggenauen, monatlichen etc. Zinsen nicht sofort wieder angelegt. Es macht mit Blick auf diesen Sachverhalt Sinn, hierzu die Banken zu befragen, welche Form der Zinsanlage berücksichtigt wird.

In Tabelle 1 ist ein Beispielkontoverlauf für einen virtuellen Festgeldvertrag von 12% p.a. dargestellt.

Table 1: Kapitalzuwachs einer Festgeldanlage

Monat	Anlage	Zinsgutschrift	Kontostand
	1000 EUR
1		10 EUR	1010 EUR
2		10 EUR	1020 EUR
		$\vdots$
12		10 EUR	1120 EUR
		$\vdots$
18		10 EUR	1180 EUR
		$\vdots$
24		10 EUR	1240 EUR

Die monatliche Kontogutschrift KGS berechnet sich unter Berücksichtigung des Anlagebetrages AB wie folgt:

$\displaystyle KGS = \frac{AB \cdot jZF - AB}{12}$

(4)

Der Kontostand zum Ende der Laufzeit wird somit berechnet:

$\displaystyle RZB = AB + m \cdot KGS$

(5)

Für das betrachtete Beispiel ergibt sich für eine Laufzeit von 24 Monaten ein Rück-
zahlungsbetrag RZB von 1240.- EUR. Auf den Internet-Seiten der Zeitschrift Focus kann unter

http://finanzen.focus.de/D/DA/DA37/DA37A/da37a.htm

eine Festgeldberechnung durchgeführt werden. Man muss an dieser Stelle darauf hinweisen, dass das vorgestellte Berechnungsverfahren nur eine Näherung zum Nachteil des Anlegers darstellt. Berücksichtigt man den Einfluss von Zins und Zinseszins, müsste entsprechend der Vorschrift von Gleichung 1 geschrieben werden:

$\displaystyle RZB = 1000 \cdot 1.12^2$

(6)

Der Rückzahlungsbetrag RZB würde in diesem Fall mit 1254.40 EUR berechnet. Man sollte auch hier wieder auf die Wirkungen von Zins und Zinseszins bei unterjähriger Anwendung hinweisen.

Ratensparen

Gegenüber der klassischen Festgeldanlage bietet das Ratensparen insofern Vorteile, dass auch während der Laufzeit Sparbeträge "`hinzugezahlt"' werden. Diese Beträge sind monatlich fällig und gleich groß.

In der Tat verlocken die Banken mit ihren Angeboten nicht dazu sich für eine solche Anlage zu entscheiden. Dennoch bietet diese Konstruktion einige Vorteile die zu schätzen sind. Die Banken sind bereit (zum Teil nur auf Nachfrage) diese Sparform mit sehr kurzen Kündigungsfristen zu versehen. Oftmals wird hierzu nur ein separates Konto eröffnet, welches jederzeit belastet werden kann. Genau dort liegt ein gewisser Vorteil. Bevor man somit den Fehler begeht alles "`verbleibende"' Geld am Monatsende auf dem Girokonto zu belassen, kann das Ratensparen sehr nützlich sein. Immerhin wird der zugesicherte Zins über dem des Girokontos liegen. Ist dann eine gewisse Summe angespart, hat man natürlich sehr schnell die Möglichkeit andere Sparformen zu wählen.

Beim Ratensparen gibt es die Möglichkeit, ähnlich wie bei der Festgeldanlage, ein Startkapital einzusetzen. Man unterscheidet somit folgende zwei Formen:

Zahlung eines monatlichen Sparbetrages
Berechnung der Zinsgutschrift ZG nach Gleichung 7
Zahlung eines monatlichen Sparbetrages, zu Beginn des Sparvertrages wird jedoch ein "`Startgeld"' berücksichtigt
Berechnung der Zinsgutschrift ZG nach Gleichung 8

Für genannte Anfangsbedingungen wird in den Gleichungen 7 beziehungsweise 8 die Zinsgutschrift ZG berechnet:

$\displaystyle ZG = AB \cdot mZF^m - AB$

(7)

$\displaystyle ZG = \Bigg( AB \cdot mZF^m - AB \Bigg) + \Bigg[ \sum_{m=1}^{m} mAB \cdot mZF^m - mAB \Bigg]$

(8)

In Unabhängigkeit, ob zu Beginn der Sparzeit ein Anfangskapital eingesetzt wird, ist für den Rückzahlungsbetrag RZB zu schreiben:

$\displaystyle RZB = AB + m \cdot mAB + ZG$

(9)

Im Folgenden soll auch hier ein virtueller Ratensparplan zum besseren Verständnis vorgestellt werden. In Tabelle 2 sind wir von einem Anfangskapital von 5000.- EUR ausgegangen, wobei über eine Laufzeit von 36 Monaten jeweils 150.- EUR eingezahlt werden. Der angegebene Algorithmus zur Berechnung des Rückzahlungsbetrages RZB ist auch hier wieder nur gültig für unterjährige Verzinsung.

Table 2: Ratensparen - Beispiel

Anlagebetrag AB:	5000.- EUR
Monatlicher Anlagebetrag mAB:	150.- EUR
Jahreszins jZ:	2.5 % p.a.
Laufzeit m:	36 Monate
Einzahlungen:	10400.- EUR

Zinsgewinn ZG	595.26 EUR
Rückzahlungsbetrag RZB	10995.26 EUR

In Abbildung 2 ist der Kontoverlauf bezüglich genannten Beispieles zu sehen. Der Rückzahlungsbetrag RZB hat durch die Wirkung von Zins und Zinseszins nichtlinearen Charakter.

**Figure 2:** Kontoverlauf Ratensparen
$\begin{figure} \centering\epsfig{file=ratensparen,width=80mm} \end{figure}$

Zusammenfassend kann bezüglich des Ratensparens erwähnt werden:

Bevor man eine höherrenditeversprechende Sparform (Aktien, Fonds) wählt, muss ein Anfangskapital geschaffen werden. Hierbei hilft das Ratensparen, da es gegenüber dem Girokonto höhere Zinsgewinne bringt. Kündigungsfristen sind zu beachten!

Lebensversicherungen

Bei den geradezu überwältigenden Angeboten hinsichtlich der Vielfalt diverser Sparformen stellen Lebensversicherungen eine gewisse Sonderstellung dar. Die Geschichte hat gezeigt, dass Lebensversicherungen selbst turbolenteste weltwirtschaftliche Zeiten am Besten bewältigt haben. Selbst in Weltwirtschaftskrisen wurden die Versicherten von ihren Lebensversicherungen nie völlig im Stich gelassen.⁴

Somit bieten Lebensversicherungen - zumindest in grundlegenden Zügen - vorrangige Sicherheit. Lebensversicherungen können allerdings unterschiedliche Ziele verfolgen. Die Versicherer bieten in diesem Zuge diverse Konzepte an. Auf Grund der Mannigfaltigkeit dieser Zielsetzungen und Berechnungsgrundlagen sind aber entsprechende Angebote kritisch zu bewerten.

Zunächst muss man grundlegend eine Trennung der zwei bekannten Lebensversicherungsformen vornehmen. Man unterscheidet zwischen Risiko- und Kapitalbildenden Lebensversicherungen.

Wo ist nun der Unterschied der Versicherungsformen zu sehen?

Risiko-Lebensversicherung:
Wie der Name schon zu verstehen gibt, kann eine Risiko-Lebensversicherung nur Ziele im "`Danach"' verfolgen. Außergewöhnlichen Egoismus verdrängend, macht eine solche Absicherung mehr als Sinn. Immobilien mit Restschulden, Kinder in der Ausbildung, Teilhaberschaften in Unternehmen oder die finanzielle Absicherung des Ehepartners etc. können Gründe für einen solchen Vertragsabschluss sein. Bei größeren Kreditverträgen (siehe Abschnitt 6.3) können die Gläubiger derartige Rückversicherungen sogar verlangen.
Risiko-Lebensversicherungen werden im Software-Paket ZinsMath nicht berücksichtigt. Der finanzmathematische Hintergrund soll aber an dieser Stelle kurz diskutiert werden.
In einer etwas saloppenArt kann gesagt werden, dass die Versicherungen über Statistiken verfügen, die Aufschluss über die Lebenserwartung ihrer Kundschaft liefern.
Aus diesem Grund wird der Beitragssatz (Prämie) für eine Risiko-Lebensversicherung vom Alter abhängig gemacht. Sie werden bei Vertragsabschluss unter Umständen sogar über Lebensgewohnheiten ausgefragt (sind sie Raucher, üben sie eine gefährliche Tätigkeit aus, welche Krankheiten hatten sie in der Vergangenheit...).
Der finanzmathematische Hintergrund ist aus Sicht der Versicherungen somit eher elementar zu beschreiben. Es existiert nur die Frage: "`Wie können die auf einen definierten Zeitraum lebenden Versicherungsnehmer versicherte Todesfälle in Form ihrer Beitragszahlungen abdecken?"' Die Sicherstellung dieser Aufgabe ist aber nicht Aufgabe des Versicherungsnehmers. Über diese mathematischen Rahmenbedingungen hinaus werden die Versicherungen auch einen Gewinn anstreben.
In Bezug auf die Auswahl eines entsprechenden Angebotes kann ein Versicherungsnehmer jedoch auf einfachem Wege Entscheidungen fällen. Man fordert von allen zugänglichen Anbietern Angebote an und entscheidet sich wahrscheinlich für das Angebot mit der geringsten monatlichen Belastung.
Empfehlung: Entscheiden Sie sich für eine reine Risiko-Lebensversicherung. Die Anbieter verquicken Angebote mit Kreditkarten, Unfallversicherungen, Kapitalbildenden Lebensversicherungen usw. Damit wird ein Vergleich unübersichtlich.
Kapitalbildende Lebensversicherung:
Kapitalbildende Lebensversicherungen bieten auf Grund ihrer Architektur einerseits die Möglichkeit den Todesfall abzusichern, andererseits ist es in dieser Form möglich ein Kapital anzusparen. Insofern sind die Kapitalbildenden Lebensversicherungen eine Alternative zum Ratensparen (siehe Abschnitt 2.2) und der reinen Risiko-Lebensversicherung.
Auf Grund der Rückversicherung des Todesfalles ist die Rendite dieser Sparform allerdings begrenzt.

In ZinsMath wird die Renditeberechnung von Kapitalbildenden Lebensversicherungen angeboten. Hierbei ist folgendes zu beachten: Neben den Parametern Laufzeit und monatlicher Anlagebetrag werden dem Versicherungsnehmer ein garantierter und ein voraussichtlicher Rückzahlungsbetrag mitgeteilt. Dieser Betrag wird Überschussbeteiligung genannt. Der garantierte Rückzahlungsbetrag beläuft sich oftmals, zumindest in der Größenordnung, auf die Summe aller Einzahlungen.

Die ZinsMath-Renditeberechnung bezieht sich auf den voraussichtlichen, nicht garantierten Rückzahlungsbetrag. Insofern kann die berechnete Rendite vom tatsächlichen Versicherungsverlauf abweichen. In der Regel erzielen die Versicherungen aber auch die in Aussicht gestellten Gewinne.

Kapitalbildene LV mit festen Prämien

Anhand eines wiederum virtuellen Beispieles soll nun die Renditeberechnung einer Kapitalbildenden Lebensversicherung ohne Dynamisierung (monatlich gleiche Zahlungen) vorgestellt werden. In Tabelle 3 sind die für die Berechnung notwendigen Konditionen angegeben.

Table 3: Kapitalbildende Lebensversicherung - Beispiel

Monatlicher Anlagebetrag mAB:	100.- EUR
Jährliche Dynamisierung:	keine
Monatszins mZF:	gesucht
Laufzeit m:	36 Monate
Einzahlungen:	3600.- EUR

Rückzahlungsbetrag RZB	5694.28 EUR

Für den Zahlungsverlauf kann Gleichung 10 geschrieben werden. Aus Gründen der Übersicht bezieht sich die linke Seite der Gleichung nur auf die ersten 3 Zahlungen.

$\displaystyle ((((100 \cdot mZF)+100) \cdot mZF)+100)\cdot mZF \cdots \equiv 5694.28$

(10)

In einer allgemeinen Form lässt sich für die Einzahlungen mAB, welche monatlich mit dem Faktor mZF verzinst werden müssen, Gleichung 11 schreiben. Die Variable m ist dabei die Laufzeit der Versicherung in Monaten.

$\displaystyle mAB \cdot \Bigg( \sum_{m=0}^{m-1} mZF^m \Bigg) \cdot mZF \equiv RZB$

(11)

Man beachte hier nun, dass die gesuchte Größe in Gleichung 11 der Monatszinsfaktor mZF ist. ZinsMath ermittelt die Lösung auf numerischem Weg. Für dieses Beispiel ergibt sich ein monatlicher Zinsfaktor von 1,0234.

Entsprechend Gleichung 3 und der Auflösung nach jZ kann der Jahreszins berechnet werden aus:

$\displaystyle jZ = \Bigg(mZF^{12} -1\Bigg) \cdot 100$

(12)

Somit ergibt sich ein effektiver Jahreszins von 32.136 %, wobei während der Laufzeit 3600.- EUR eingezahlt wurden. Das Ergebnis deutet darauf hin, dass die Rechnung in der Tat nur Beispielcharakter hat.

Natürlich kann für dieses Modell auch der Zahlungsverlauf angegeben werden, welcher in Tabelle 4 in übersichtlicher Weise dargestellt wird.

Table 4: Kapitalzuwachs einer Lebensversicherung ohne Dynamik

Monat	Anlage	Kontostand
1	100 EUR	102.13 EUR
2	100 EUR	207.10 EUR
3	100 EUR	314.31 EUR
4	100 EUR	424.05 EUR
	$\vdots$
33	100 EUR	5117.92 EUR
34	100 EUR	5238.16 EUR
35	100 EUR	5463.57 EUR
36	100 EUR	5694.27 EUR

Durch ständige Wiederanlage der Zahlungen ergibt sich ein für die Finanzmathematik typischer nichtlinarer Verlauf (Kontostand). Abbildung 3 vermittelt hierzu einen Eindruck.

**Figure 3:** Kontoverlauf Lebensversicherung ohne Dynamik
$\begin{figure} \centering\epsfig{file=kv-ohnedyn,width=80mm} \end{figure}$

Lebensversicherungen sollten mindestens eine Laufzeit von 12 Jahren besitzen, damit der Rückzahlungsbetrag RZB steuerfrei bleibt.

Kapitalbildene LV mit Dynamisierung

Gegenüber der vorhergehenden Berechnung einer Kapitalbildenden Lebensversicherung bieten die Versicherer auch Dynamisierung der Einzahlungen an. Das heißt, die Einzahlungen werden pro Jahr um einen prozentuellen Anteil erhöht. In Abhängigkeit der Laufzeit sollte diese Erhöhung maximal zwischen 3 und 5 % liegen.

Wiederum soll im Zuge eines Beispieles die Renditeberechnung erläutert werden. In Tabelle 5 sind die für die Berechnung notwendigen Konditionen angegeben.

Table 5: Kapitalbildende LV - Beispiel

Monatlicher Anlagebetrag mAB:	100.- EUR
Jährliche Dynamisierung:	5 %
Monatszins mZF:	gesucht
Laufzeit m:	36 Monate

Rückzahlungsbetrag RZB	5930.27 EUR

Für den Fall, dass man sich für einen derartigen Vertrag entscheidet ist bei der Wahl der dynamischen Erhöhung entsprechende Vorsicht zu wahren. Die Beitragshöhe im letzten Versicherungsjahr berechnet sich für dieses Beispiel, allerdings für eine Laufzeit von 12 Jahren, aus:

$\displaystyle 100 \cdot 1.05^{12} = 179.58$

Im letzten Versicherungsjahr müssten somit monatlich etwa 180.- EUR berappt werden, die Beitragshöhe hätte sich nahezu verdoppelt. Man sollte somit sorgfältig prüfen, ob die Beitragshöhe über die gesamte Laufzeit den Wünschen und der Leistungsfähigkeit entspricht.

Der Zahlungsverlauf für ein solches Modell lässt sich aus Gleichung 10 ableiten. Allerdings muss nach jeweils 12 Monaten der Betrag mAB angepasst werden. Für vorgestelltes Beispiel kann also eine Gleichung folgender Form geschrieben werden:

$\displaystyle RZB \equiv \sum_{m=25}^{36} mAB_1 \cdot mZF^m + \sum_{m=13}^{24} mAB_2 \cdot mZF^m +\sum_{m=1}^{12} mAB_3 \cdot mZF^m$

(13)

In Gleichung 13 ist = 100, = 105 und = 110.25. Die gesuchte Größe ist natürlich der monatliche Aufzinsungsfaktor mZF. Glücklicherweise übernimmt ZinsMath die Lösung des Gleichungssystems.

Für das Beispiel ist mZF = 1,0234 eine Lösung. Der effektive Jahreszins beträgt somit, gleichermaßen des vorherigen Abschnittes, 32.136 %.

In Tabelle 6 sind die wichtigen Ergebnisse der beiden Formen der Kapitalbildenden Lebensversicherungen gegenübergestellt.

Table 6: Renditevergleich zweier Kapitalbildender Lebensversicherungen

	KLV nach Abschnitt 3.1	KLV nach Abschnitt 3.2
Summe der Beitragszahlungen	3600.- EUR	3783.- EUR
Rückzahlungsbetrag	5694.28 EUR	5930.27 EUR
Rendite	32.136 %	32.136 %

Auch für dieses Rechenbeispiel kann der Zahlungsverlauf angegeben werden. Tabelle 7 listet die entsprechenden Beitragszahlungen und die jeweiligen Anteile an der Gesamtverzinsung auf.

Table 7: Kapitalzuwachs einer Lebensversicherung mit Dynamik

Monat	Anlage	Kontostand
1	100 EUR	102.136 EUR
2	100 EUR	207.103 EUR
3	100 EUR	314.318 EUR
4	100 EUR	424.051 EUR
	$\vdots$
12	100 EUR	1400.11 EUR
13	105 EUR	1540.47 EUR
14	105 EUR	1684.13 EUR
15	105 EUR	1831.16 EUR
	$\vdots$
33	110.25 EUR	5208.16 EUR
34	110.25 EUR	5443.36 EUR
35	110.25 EUR	5684.08 EUR
36	110.25 EUR	5930.46 EUR

Man erkennt sehr schnell, dass anfänglich keine Unterschiede gegenüber der "`klassischen"' Lebensversicherung (vgl. Tabelle 4) festzustellen sind. Jedoch zeigt sich im späteren Verlauf die verzinste Auswirkung der zunehmenden Beitragszahlungen.

Entsprechend der Darstellung in Abschnitt 3.1 soll hier auch der Verlauf der Einzahlungen und der Kontostände grafisch dargestellt werden. In Abbildung 4 ist die entsprechende Charakteristik zu entnehmen.

**Figure 4:** Kontoverlauf Lebensversicherung mit Dynamik
$\begin{figure} \centering\epsfig{file=kv-dyn,width=80mm} \end{figure}$

Es konnte durch die Beispielrechnungen der Abschnitte 3.1 und 3.2 der Unterschied der beiden Versicherungsmodelle herausgearbeitet werden. Insbesondere wurde der Einfluss von zunehmenden Beitragszahlungen gezeigt.

Die Abbildung 5 zeigt eine Überlagerung der Abbildungen 3 und 4.

**Figure 5:** Vergleich Lebensversicherung mit und ohne Dynamik
$\begin{figure} \centering\epsfig{file=kv-ueberlagerung,width=80mm} \end{figure}$

Ist man in der Lage ein dynamisches Wachsen der Beitragszahlungen über die ganze Laufzeit erbringen zu wollen, ist diese Form der Lebensversicherung ein interessantes Ansparmodell. Der Rückzahlungsbetrag RZB wird von den Versicherungen nicht garantiert.

Wertpapiere

Wertpapiere sind z.B. Banknoten, Schecks, Wechsel, Aktien, Anleihen, Hypothekenbriefe. Nach [7] kann ein Wertpapier wie folgt beschrieben werden: "`Ein Wertpapier ist eine Urkunde, in der ein privates Recht in der Weise verbrieft ist, dass zur Geltendmachung des Rechts die Innehabung der Urkunde erforderlich ist."'

Dieses Recht wiederspiegelt unter anderem wertmäßige Anteile, beispielsweise an einem Unternehmen. Insofern spielt der Name des Wertpapierverkäufers eine sehr wichtige Rolle. Im Grunde sollten die Informationen, die über die Herkunft des Wertpapieres vorhanden sind, über den Kauf entscheiden. Die bloße Kenntnis über den Wertpapierverlauf einiger zurückliegender Monate ist unzureichend.

Leider muss an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass ZinsMath keine Kaufempfehlungen anbieten kann. Vielmehr bietet die Software die Möglichkeit eine schnelle Renditeanalyse durchzuführen. In diesem Zug sollen die entscheidenden Rahmenparameter einer Renditeberechnung kurz erläutert werden:

Emissionskurs, Ausgabekurs: Der Kaufpreis eines Wertpapieres wird mit einem sogenannten Kurs verknüpft. Beispiel: Ein Wertpapier kostet 1000,00 EUR. Der Ausgabekurs beträgt 102 %. Insofern werden für den Kauf eines solchen Papieres 1020,00 EUR benötigt. Tatsächlich muss man sich an eine solche Verfahrensweise gewöhnen. Stellen Sie sich vor, Sie erwerben ein Fahrzeug. Der Verkäufer nennt Ihnen einen Preis, es kommt zu einem Kaufvertrag. Sie können das Fahrzeug allerdings nur abholen, wenn Sie bei Abholung noch 2 % zuzahlen...
Rückkaufkurs: Siehe oben - der Rückkaufpreis wird mit einem Kurs versehen. Der Rückkaufkurs ist bei festverzinslichen Wertpapieren die ungewisse Größe.
Nomineller Jahreszins(fluss): Bei festverzinslichen Wertpapieren wird diese Größe vertraglich zugesichert. Ein hoher Jahreszins gibt keinerlei Sicherheit, da für die Berechnung der Rendite auch der (nicht garantierte) Rückkaufkurs berücksichtigt werden muss.

Festverzinsliche Wertpapiere mit Zinsauszahlung

In nunmehr gewohnter Weise soll der in ZinsMath verwendete Algorithmus zur Berechnung der Rendite eines festverzinslichen Wertpapieres vorgestellt werden, siehe hierfür Gleichung 14. Die gesuchte Größe ist der jährliche Aufzinsungsfaktor azF, der die Rendite widerspiegelt.

$\displaystyle C = \sum_{j=1}^{j}\frac{jnZ}{azF^j}+\frac{Rk}{azF^j}$

(14)

Die kurze Betrachtung der Gleichung 14 lässt sofort erkennen, dass offensichtlich der wertmäßige Betrag (in EUR) eines Wertpapieres für die Renditeberechnung keine Rolle spielt. Nur die in Abschnitt 4 angegebenen Größen werden benötigt. Ein solcher Sachverhalt erscheint auch sinnvoll, da für die Renditeberechnung die Anzahl der erworbenen Wertpapiere (ein und desselben!) keine Rolle spielen darf.

Natürlich soll auch hier ein (virtuelles) Beispiel vorgestellt werden. Für die Beispielrechnung sollen folgende Konditionen gelten:

Table 8: Festverzinsliches Wertpapier - Beispiel

Ausgabekurs C in %:	90
Rückzahlungskurs Rk in %	102
Jahreszins jZ in %	5
Laufzeit j in Jahren	4

Entsprechend Gleichung 8 müssen die Werte der Beispielrechnung nur eingesetzt werden. Somit lässt sich folgende, etwas unbequeme Gleichung aufschreiben:

$\displaystyle 90 \equiv \frac{5}{azF}+\frac{5}{azF^2}+\frac{5}{azF^3}+\frac{5}{azF^4}+\frac{102}{azF^4}$

(15)

Wie anfänglich beschrieben, stellt azF einen Aufzinsungsfaktor dar. Die Rendite Re berechnet sich aus Gleichung 15 letztlich aus:

$\displaystyle Re=1+\frac{azF}{100}$

(16)

In Unabhängigkeit der Laufzeit und der vorgegebenen Werte berechnet ZinsMath die Rendite des Beispieles mit Re=8.4930 %.

Das Ergebnis könnte einen Hinweis darauf geben, dass es sich hierbei um ein, wie angegeben, virtuelles Beispiel handelt. Derartige Erträge können aber bei sorgfältiger Auswahl erzielt werden.

Wertpapiere mit variablem Zins und Zinsauszahlung

Grundlage für die Berechnung ist Gleichung 14. Ausgabekurs C und Rückzahlungskurs Rk sind 100. Für die Beispielrechnung sollen folgende Konditionen gelten:

Table 9: Festverzinsliches Wertpapier - Beispiel 2

Ausgabekurs C in %:	100
Rückzahlungskurs Rk in %	100
Jahreszins 1. Jahr jZ in %	1
Jahreszins 2. Jahr jZ in %	2
Jahreszins 3. Jahr jZ in %	3
Jahreszins 4. Jahr jZ in %	4
Laufzeit j in Jahren	4

Mit Blick auf Gleichung 15 müssen die Werte der Beispielrechnung nur eingesetzt werden.

$\displaystyle 100 \equiv \frac{1}{azF}+\frac{2}{azF^2}+\frac{3}{azF^3}+\frac{4}{azF^4}+\frac{100}{azF^4}$

(17)

Für diese Werte berechnet ZinsMath die Rendite des Beispieles mit Re=2.47 %.

Wertpapiere mit variablem Zins und Zinsansammlung

Grundlage für die Berechnung ist Gleichung 18. Ausgabekurs C ist 100.

$\displaystyle Re = (\sqrt[j]{\frac{Rk}{C}} -1) \cdot 100$

(18)

Für die Beispielrechnung sollen folgende Konditionen gelten:

Table 10: Festverzinsliches Wertpapier - Beispiel 3

Ausgabekurs C in %:	100
Jahreszins 1. Jahr jZ in %	1
Jahreszins 2. Jahr jZ in %	2
Jahreszins 3. Jahr jZ in %	3
Jahreszins 4. Jahr jZ in %	4
Laufzeit j in Jahren	4

Mit Blick auf Gleichung 18 kann nun geschrieben werden.

$\displaystyle RK = C \cdot 1.01 \cdot 1.01 \cdot 1.01 \cdot 1.01$

(19)

$\displaystyle Re = (\sqrt[4]{\frac{110.355}{100}} -1) \cdot 100$

(20)

Für diese Werte berechnet ZinsMath die Rendite des Beispieles mit Re=2.494 %.

Bundesschatzbriefe

Die deutschen Bundesschatzbriefe werden in zwei Formen angeboten, dem Typ A und dem Typ B. Der wesentliche Unterschied besteht darin, dass bei der Anlageform A die Zinsen während der Laufzeit ausgezahlt werden. Beim Typ B werden hingegen die Zinsen neu angelegt. Auch bezüglich der Laufzeiten unterscheiden sich die Anlagen. Typ A läuft 6 Jahre und Typ B hat eine Laufzeit von 7 Jahren. Beide Anlageformen erlauben Stückelungen von 100 EUR.

Die Banken fordern Aufbewahrungsgebühren (Kontoführungs- bzw. Depotgebühren). Man kann diese Kosten umgehen, wenn man den Brief bei der Bundesschuldenverwaltung hinterlegt.

Für festverzinsliche Wertpapiere mit jährlicher Zinszahlung und einer Laufzeit von j Jahren lässt sich für die Berechnung der Rendite folgende Gleichung aufschreiben:

$\displaystyle C = \frac{jnZ}{azF} + \frac{jnZ}{azF^2} + \ldots + \frac{jnZ}{azF^j} + \frac{Rk}{azF^j}$

(21)

Der Aufzinsungsfaktor azF ergibt sich aus Gleichung 22. Somit lässt sich beispielsweise für einen Zinssatz von 3 % ein gut anwendbarer Faktor von 1.03 schreiben.

$\displaystyle azF = 1 + \frac{Re}{100}$

(22)

Gleichung 21 muss nun für Typ A und B angepasst werden.

Typ A

Beachtet man, dass der Nominaljahreszins während der Laufzeit veränderlich ist und dass Kaufpreis und Rückzahlungskurs zu 100 % erfolgen, nimmt die Gleichung zur Renditeberechnung des Bundesschatzbriefes Typ A folgende Gestalt an:

$\displaystyle 100 = \frac{jnZ1}{azF} + \frac{jnZ2}{azF^2} + \frac{jnZ3}{azF^3} ... ...rac{jnZ4}{azF^4} + \frac{jnZ5}{azF^5} + \frac{jnZ6}{azF^6} + \frac{100}{azF^6}$

(23)

Natürlich muss nun noch Gleichung 22 in Gleichung 23 eingesetzt werden und man erhält:

$\begin{displaymath}\begin{split} 100 = \frac{jnZ1}{1+\frac{Re}{100}} + \frac{j... ...e}{100}})^6} + \frac{100}{({1+\frac{Re}{100}})^6} \end{split}\end{displaymath}$

(24)

Die Größen jnZ1 bis jnZ6 sind die Zinssätze der einzelnen Jahre während der Laufzeit. Gleichung 24 lässt sich offensichlich nicht explizit nach der Rendite Re auflösen. Daher löst ZinsMath die Gleichung auf iterativem Weg.

Typ B

Im Gegensatz zum Bundesschatzbrief Typ A werden in der Version B die Zinsen angesammelt. Aus diesem Grund vereinfacht sich Gleichung 24 glücklicherweise stark. Zur Berechnung der Rendite genügt der Vergleich des Kaufpreises mit dem Barwert des Rückzahlungswertes. Von den Gleichungen 21 und 22 bleibt daher nur noch unter Berücksichtigung der Laufzeit von 7 Jahren stehen:

$\displaystyle C = \frac{Rk}{({1+\frac{Re}{100}})^7}$

(25)

Selbstverständlich lässt sich Gleichung 25 nach der Rendite Re auflösen und man erhält:

$\displaystyle Re = (\sqrt[7]{\frac{Rk}{C}} -1) \cdot 100$

(26)

Hier ein virtuelles Berechnungsbeispiel zur Renditeberechnung eines Bundesschatzbriefes Typ B:

Table 11: Rendite eines Bundesschatzbriefes

Anlage	1000 EUR
Verzinsung 1. Jahr 1 %
Verzinsung 2. Jahr 2 %
Verzinsung 3. Jahr 3 %
Verzinsung 4. Jahr 4 %
Verzinsung 5. Jahr 5 %
Verzinsung 6. Jahr 6 %
Verzinsung 7. Jahr 7 %	1314.23 EUR

Somit ergibt sich ein Rückzahlungskurs von 132.423 %. Die Rendite Re berechnet sich also wie folgt:

$\displaystyle Re = (\sqrt[7]{\frac{131.423}{100}} - 1) \cdot 100 = 3.98$

(27)

Achtung! Für Finanzierungsschätze des Bundes gilt für die Berechnung der Rendite Re ebenfalls Gleichung 26!

Null-Kupon-Anleihen

Eine Null-Kupon-Anleihe (Zero Bonds) ist ein Wertpapier, bei dem es keine regelmäßigen Zinszahlungen (Jahresnominalzins) gibt. Der Ertrag dieser Form der Geldanlage ergibt sich aus dem Unterschied zwischen dem Ausgabepreis und dem Betrag, der später zurückgezahlt wird.

$\displaystyle C = Rk \cdot \frac{1}{(\frac{Re}{100}+1)^j}$

(28)

Der Rückzahlungskurs⁵ Rk ist bei-Null-Kupon-Anleihen oftmals 100 %. In diesem Fall hängt die Gleichung zur Berechnung der Rendite Re nur von der Laufzeit j und dem Ausgabekurs C ab.

$\displaystyle C = 100 \cdot \Bigg( \frac{1}{100} \cdot Re +1 \Bigg)^{-j}$

(29)

Gleichung 29 kann nach der Rendite Re aufgelöst werden.

$\displaystyle Re = -100 + 100^{(\frac{j+1}{j})} \cdot C^{( \frac{-1}{j})}$

(30)

Bei einem Ausgabekurs C von 50 %, 100 %iger Tilgung und einer Laufzeit von 10 Jahren ergibt sich so beispielsweise eine Rendite von 7.18 %.

Aktien

Auch wenn die Zeiten des "`kollektiven"' Aktienwahnsinnes vorüber sind, muss dieses Kapitel der Finanzmathematik natürlich auch von ZinsMath bedient werden. Auch ZinsMath kann Ihnen keine sicheren Empfehlungen anbieten, vielmehr wird man in die Lage versetzt eine exakte Renditeanalyse durchzuführen. Insofern bezieht sich die ZinsMath Berechnung ausschließlich auf zahlenmäßig festgelegte Fakten.

Die Buchhandlungen sind mit Werken über Aktien hinreichend gefüllt. Bevor man sich zu einzelnen Aktienkäufen entscheidet, sollte man sich in Ruhe über Hintergründe, mögliche Vorteile und Risiken belesen.

Der Wert von Aktien resultiert im Wesentlichen aus der Erfahrung und den Fantasien der Anleger. Bei bekannten Werten (Werte aus dem deutschen Aktien Index DAX) überwiegen die Erfahrungen. Damit ist das Risiko dort geringer als bei "`Noname-Aktien"', bei denen die Fantasie überwiegt. Das Risiko kann man verringern, wenn verschiedene Aktien zu einem Fond "`gebündelt"' werden (siehe Abschnitt 4.7).

Es lassen sich eine Reihe von (bekannten!) Regeln aufschreiben, die grundsätzlich gültig sind ⁶.

Wählt man bekannte Namen und kann man die Aktien über eine längere Zeit halten, sind gute Gewinne nahezu garantiert.
Unbekannte Werte erhöhen das Risiko, können aber in kurzer Zeit hohe Rendite erzielen (aber auch umgekehrt). Man beachte die steuerlichen Rahmenbedingungen bei Verkäufen unter einem Jahr.
Eine gute Alternative bieten Fonds an, welche sich aus verschiedenen Aktien(paketen) zusammensetzen. Auf diese Art kann das Risiko verkleinert werden, da der Absturz einer Aktie nicht so sehr ins Gewicht fällt.

Die Rendite einer Aktie kann entsprechend Gleichung 31 berechnet werden. Die Größe D ist die Auszahlung einer Dividende. Sollte man nicht in den Genuss einer solchen Zahlung kommen, ist D=0. Standardmäßig sind die Werte für D in ZinsMath auf diesen Wert gesetzt.

$\displaystyle KP \equiv \sum_{j=1}^{j-1} \frac{D_j}{(1+\frac{Re}{100})^j}+ \Bigg( \frac{D_j + RB}{(1+\frac{Re}{100})^j} \Bigg)$

(31)

In gewohnter Weise soll nun wieder ein virtuelles Beispiel vorgestellt werden. Tabelle 12 zeigt ein Rechenbeispiel auf.

Table 12: Rendite Re einer Aktie - Beispiel

Kaufpreis KP	1000.- EUR
Rückzahlungsbetrag RB	1300.- EUR
Dividende D nach 1. Jahr	60.- EUR
Dividende D nach 2. Jahr	70.- EUR
Dividende D nach 3. Jahr	80.- EUR
Dividende D nach 4. Jahr	90.- EUR
Laufzeit j in Jahren	4

Gemäß Gleichung 31 kann somit für das Beispiel geschrieben werden:

$\displaystyle 1000 \equiv \frac{60}{(1+\frac{Re}{100})^1} +\frac{70}{(1+\frac{R... ...0}{(1+\frac{Re}{100})^3} + \Bigg( \frac{90 + 1300}{(1+\frac{Re}{100})^4} \Bigg)$

(32)

Die Gleichung wird für die Rendite Re = 13.4847 % gelöst. Setzt man die 4 jährlichen Dividendenzahlungen gleich Null, ergibt sich immerhin noch eine Rendite Re von 6.78%.

Letztlich sind Randbemerkungen notwendig: Der Kauf und Verkauf von Aktien geschieht nicht Gratis. Viele Banken setzen vor einem Aktienhandel die Eröffnung eines Depotkontos voraus. Dieses Konto wird dann auf unterschiedliche Weise belastet, pro Transaktion etc... In Abhängigkeit davon, welche Kosten berechnet werden und auf welcher Grundlage sie ausgewiesen werden, müssen diese Kosten in die Renditeberechnung mit einbezogen werden. Man sollte diese Größen im Kaufpreis (Emmissionskurs) und beim Rückkaufwert (Aktueller Kurs) berücksichtigen.

Die ZinsMath-Berechnung bezieht sich auf eine Aktie. Die Renditeberechnung ist unabhängig von der Zahl der Aktien, gleiche Rahmenbedingungen vorausgesetzt.

Fonds

Fondsmanager sammeln das Kapital vieler tausend Anleger und investieren das Geld in Aktien, Immobilien oder Anleihen. Das Risiko verringert sich durch geschickte Streuung des Geldes.

Vor allem Anleger, die nicht über die nötige Zeit oder das Wissen für den Börsenhandel verfügen, setzen auf Fonds.

An der Börse werden mehrere tausend Fonds notiert. Je nach Zielsetzung der Fondsgesellschaften sind entweder Aktien, Anleihen oder beide Wertpapierarten in den Fonds enthalten. Es gibt aber auch Fonds, die sich auf hochspekulative Anlageformen spezialisieren. Die Investmentgesellschaften stellen den Inhalt des Fonds zusammen und verwalten ihn. Das Fondsvermögen wird in Investmentzertifikate bzw. Anteilscheine aufgeteilt. Die Käufer erwerben damit das Recht auf Gewinnanteile aus dem Fondsvermögen. Die vereinbarten Zinsen werden entweder jährlich ausgeschüttet oder angesammelt und bis zum Rückgabezeitpunkt mitverzinst - also thesauriert.

$\displaystyle Re_{Fond} = \frac{\sum_{p=1}^{i}Re_p}{i}$

(33)

Auszug einer Privat-Site der Deutschen Bank

Im Folgenden soll ein Auszug einer Privat Site der Deutschen Bank vorgestellt werden ⁷. Eine bessere Beschreibung von Fonds kann nicht geliefert werden.

Mit einer Anlage in Investmentfonds beteiligen Sie sich an einem professionell zusammengestellten Portfolio von Wertpapieren. Die Fondsmanager nutzen ihr spezialisiertes Fachwissen um für Sie die Auswahl aussichtsreicher Werte vorzunehmen, das Fondsportfolio ständig zu überwachen und bei Bedarf den Entwicklungen an den Kapitalmärkten anzupassen. Den Schwerpunkt können Sie dabei selbst bestimmen, denn Investmentfonds werden in unterschiedlichen Anlagekategorien angeboten: Aktien-, Renten-, Geldmarkt-, Gemischte Fonds und Dachfonds. Anteile an Investmentfonds können dabei nicht nur zur einmaligen Anlage größerer Beträge verwendet werden. Sie eignen sich auch für die regelmäßige Einzahlung kleinerer Summen. So bauen Sie Ihr Vermögen kontinuierlich auf.

Aktienfonds

Wer sein Geld in Aktienfonds anlegt, kann seine Risiken durch das professionelle Fondsmanagement und die breite Streuung der Anlagen verringern. Wie bei der Direktanlage gilt auch hier: Geduld wird erfahrungsgemäß oft durch langfristig überdurch schnittliche Renditen belohnt. Anlegern steht heute eine große Zahl von Aktienfonds zur Verfügung. Traditionell bilden Länder oder Regionen den Anlageschwerpunkt. Bestimmte Fonds konzentrieren sich auf große Unternehmen (Blue Chips), andere setzen auf kleinere Werte (Small Caps). Wiederum andere haben sich auf aussichtsreiche Branchen wie Biotechnologie oder Internet spezialisiert. Zunehmend werden Fonds angeboten, die spezielle Marktsegmente (z.B. Neue Märkte) abdecken. Unabhängig vom Schwerpunkt verfolgen Fondsmanager zwei Strategien: aktiv oder passiv. Während passiv gemanagte Fonds die Wertentwicklung eines Vergleichsindex nachzubilden versuchen, möchten aktive Fondsmanager den Index schlagen. Bei sorgfältiger Einzeltitelauswahl durch das Fondsmanagement kann die aktive Strategie in der Tat überlegene Ergebnisse hervorbringen.

Rentenfonds

Rentenfonds bieten grundsätzlich die gleichen Vorteile wie Direktanlagen in Anleihen: kontinuierliche Erträge bei moderaten Kursschwankungen. Dem Sicherheitsbedürfnis vieler Anleger können die Fondsmanager durch die Auswahl von Anleihen mit besonders hoher Bonität entgegenkommen. Spezielle Fonds setzen auf regionale Schwerpunkte oder konzentrieren sich auf Papiere bestimmter Bonität oder Restlaufzeit. Für risikobewusstere Anleger werden Fonds angeboten, die hochverzinsliche Anleihen aus Schwellenländern oder Unternehmensanleihen erwerben. Anleger, die besonderen Wert auf die steuerliche Optimierung ihres Vermögens legen, profitieren von Rentenfonds, die während ihrer begrenzten Laufzeit die zu versteuernden Erträge des Anlegers minimieren.

Geldmarktfonds

Der Geldmarkt bietet eine gute Möglichkeit Vermögen bei einer ansprechenden Verzinsung kurzfristig zu parken. Hier werden vor allem Tages- und Termingelder sowie Geldmarktpapiere gehandelt: kurzfristige Wertpapiere mit einer Laufzeit von bis zu zwölf Monaten. Geldmarktfonds legen direkt am Geldmarkt an; geldmarktnahe Fonds investieren dort dagegen bis zur Hälfte ihres Fondsvermögens, den anderen Teil in fest- und variabel verzinsliche Wertpapiere mit kurzen Laufzeiten. Beide Fondsarten bieten den Vorteil einer stetigen Wertentwicklung bei täglicher Verfügbarkeit der Gelder. Sie sind damit flexibler als beispielsweise Festgeldanlagen. Die meisten Geldmarktfonds können Sie erwerben, ohne dass Transaktionskosten anfallen. Bei Fonds, die in Mark- oder Euro-Papieren anlegen, bestehen für Sie keine Währungsrisiken. Wer ausländischen Währungen größere Chancen zubilligt, kann geldmarktnahe Fonds in diversen Währungen wählen, beispielsweise in US-Dollar. Neben den oftmals höheren Zinserträgen wird die Wertentwicklung dieser Fonds von den Wechselkursen beeinflusst.

Gemischte Fonds

Das ausgewogene Verhältnis von Aktien und Anleihen ist das besondere Kennzeichen von Gemischten Fonds. Hier werden die Chancen der Aktien mit der Sicherheit von festverzinslichen Wertpapieren kombiniert. Gemischte Fonds existieren in unterschiedlichen Ausprägungen von aktien- bis rentenorientiert oder als vermögensverwaltende Fonds mit flexiblem Aktienanteil.

Dachfonds

Dachfonds müssen sich bei der Auswahl ihrer Zielfonds nicht unbedingt auf das Angebot der eigenen Fondsgesellschaft beschränken. Zunehmend werden Dachfonds angeboten, die auch in Fonds konzernfremder nationaler und internationaler Gesellschaften investieren. Für die objektive Auswahl sorgt dabei die Zusammenarbeit mit unabhängigen Analysegesellschaften, die nach genau festgelegten Kriterien die aktuell aussichtsreichsten Zielfonds identifizieren. Die Fondsgesellschaft gibt den Rahmen vor, indem sie die strategische Aufteilung des Fondsportfolios nach Regionen oder Branchen vornimmt. Die daraus resultierende breite Streuung bedeutet zugleich ein kompaktes Vermögensmanagement mit Investmentfonds.

Altersvorsorge

Die Frage der Altersvorsorge spielt aus vernünftigem Grund für jeden eine wichtige, vielleicht sogar zentrale Rolle.

Selbstverständlich muss frühzeitig abgeklärt werden, welche Einkünfte nach der beruflichen Tätigkeit zu erwarten sind. Auf Grund bisheriger Strukturen hatte die Altersvorsorge eine eher untergeordnete Funktion. Jedermann konnte sich - wenigstens in einer guten Näherung - selbst ausrechnen, welche Rente vom "`Staat"' mit Beginn des Rentenalters gezahlt wird. Familiärer Zusammenhalt der Art: "`Du sollst Deinen Vater und Deine Mutter ehren ..."' spielten aus Sicht der Finanzmathematik keine Rolle. Dies wird sich ändern. Zeitlich abhängige Größen des Inputs und des Outputs der Zahlungen in und aus der Rentenkasse erzwingen ein Umdenken.

Die Grafik 6 stellt in elementarer Form das Prinzip der gesetzlichen Rentenversicherung dar. Der In- und Output der Rentenkasse soll diskutiert werden.

**Figure 6:** Input und Output der Gesetzlichen Rentenversicherung
$\begin{figure} \centering\epsfig{file=rente,width=40mm} \end{figure}$

Für die Bundesrepublik Deutschland gilt ein so genannter Generationsvertrag. Dies soll heißen, die in "`Brot und Arbeit"' stehende "`junge Generation"' hat einen Teil ihres Einkommens in eine Rentenkasse abzuführen. Aus diesen Einzahlungen werden die monatlichen Renten der Anspruchnehmer gezahlt. Dies macht nicht nur aus moralischer Sicht Sinn.

Offensichtlich scheint dieses Prinzip nunmehr an die Grenzen seiner Leistungsfähigkeit zu stoßen. Wir wollen hier kurz darauf eingehen und verwenden die definierten Variablen der Abbildung 6. Es ist offensichtlich, dass die Einzahlungen und Auszahlungen aus der Rentenkasse voneinander abhängig sind.

Die Summe der Zahlungen der Rentenversicherungspflichtigen muss der Summe der Entnahmen für die Rentenempfänger entsprechen. Diese Größen sind aber eine Funktion der Zeit...

Die bis zu diesem Punkt eher leichte mathematische Aufgabe wird aber daher "`unberechenbar"', da beide Größen für die Zukunft kaum zu definieren sind.

Wir wollen nun beide Größen beschreiben um die Problematik darzustellen. Im Abschluss wollen wir Empfehlungen geben, die altersabhängig Wege aufzeigen, mit dieser Problematik vernünftig umzugehen.

Die unbekannte Größe "`Rentenversicherungspflichtige"':

Die Gruppe der Einzahler ist unklar. Es lässt sich kaum abschätzen, auf welches "`Rentenalter"' man sich in Zukunft festlegt beziehungsweise festlegen kann.
Desweitern lassen sich keine sicheren Aussagen darüber treffen, wie und mit welcher Performance sich die Gehälter entwickeln.
Es ist unklar, wie und in welcher Größe die Arbeitnehmer mit Zahlungen in die Rentenkasse belastet werden können. Hier spielen dann auch politische Gründe eine Rolle. Wahrscheinlich sollte die jetzige Belastung nicht erhöht werden.

Die unbekannte Größe "`Rentenempfänger"':

Man kann natürlich ermitteln, wieviele Menschen in welchem Jahr Rente erwarten (Neuempfänger).
Die Lebenserwartung steigt! Aus stochastischer Sicht werden die Deutschen immer älter. Dem will man bitte nicht gegenwirken. Für die Rentenkasse bedeutet dies ein riesiges Problem. Somit wird die Gruppe der Rentenempfänger immer größer. Die Gruppe der Rentenversicherungspflichtigen wächst aber nicht, sie unterliegt sogar oben genannter Problematik.
Für zukünftige Rentenempfänger werden ganz sicher neue Berechnungsalgorithmen verwendet.

Was nun? Im Grunde kann dies in sehr kurzer Form beschrieben werden. "`Ältere"' Herrschaften können an der jetzigen Situation nichts bewegen. Wer in den nächsten (5-10) Jahren Anspruch auf eine gesetzliche Rente erheben kann und bisher keine weiteren Rentenmaßnahmen getroffen hat oder treffen konnte, wird sich mit der vom Gesetzgeber "`verordneten"' Rente begnügen müssen. "`Junge Leute"' sollten eine freiwillige Zusatz-Rentenversicherung abschließen um den Lebensstandard im Rentenalter annähernd halten zu können. Wir wollen an dieser Stelle nicht an Spekulationen teilhaben und eine Aussage zur Höhe der gesetzlichen Rente in 20 Jahren treffen. Man muss aber sehr wahrscheinlich davon ausgehen, dass keine unerhebliche Rentenverringerung zu verzeichnen sein wird.

Es gibt nun sicherlich verschiedene Möglichkeiten für die Zeit nach der beruflichen Tätigkeit vorzusorgen. Einige sollen kurz erläutert werden.

Abschluss einer freiwilligen Zusatz-Rentenversicherung: Der Abschluss einer solchen Versicherung macht Sinn, und zwar schon deshalb, da derartige Versicherungen steuerlich absetzbar sind. Man sollte sich allerdings über die Leistungsfähigkeit dieser Versicherungsform im Klaren sein. Wer aus einer solchen Versicherung "`lebenslang"' 1000.- EUR monatlich bekommen möchte, muss sehr früh damit beginnen und auch immer sehr gut verdienen... Es soll zu den Rentenversicherungen kurz die Frage der Zahlungsform erläutert werden: Die Versicherungen fragen an, ob die Auszahlung der Rentenversicherung einmalig zu einem bestimmten Zeitpunkt erfolgen soll, oder ob eine monatliche Zahlung (ohne zeitliches Limit) gewünscht wird. Leider kann auch hier keine Gut-Schlecht-Entscheidung getroffen werden. Man könnte aber folgende Strategie für gut halten: Zahlt man in eine Rentenversicherung (monatlich) hohe⁸ Beträge, sollte die Rückzahlung IM GANZEN gewählt werden. Damit sichert man den schlechten Fall ab mit 67 Jahren zu sterben aber x+ Jahre investiert zu haben⁹.
Wohneigentum: Wer derzeit zur Miete wohnt, sollte Eigentum anstreben. Allerdings muss eine eventuelle Finanzierung mit Beginn des Rentenalters beendet sein. Sollte man den Kauf einer Wohnung oder eines Hauses für machbar halten ist diese Lösung einer Rentenversicherung zu bevorzugen. Der Wegfall einer monatlichen Miete stellt eine erhebliche Entlastung dar, die in Form einer Rente nur schwer zu kompensieren ist. ZinsMath stellt ein sehr ausgereiftes Tool zur Berechnung von Annuitäten- und Hypothekenkrediten zur Finanzierung von Wohneigentum bereit. Siehe hierzu Abschnitt 6.3.
Selbst vermieten: Es ist überaus gekonnt, während der beruflichen Tätigkeit in Objekte zu investieren, die später dann auf gutem Niveau vermietet werden können. Voraussetzung hierfür ist allerdings der Besitz besagter Objekte. Tatsache ist, dass es insbesondere in den alten Bundesländern eine große Zahl von "`Kindern"' gibt, die auf derartige Ressourcen der Eltern zurückgreifen können. In den neuen Bundesländern gestaltet sich die Sachlage wegen verlorengegangener 40 Jahre wirtschaftlicher Möglichkeiten leider anders.
Sparguthaben: "`Mancher kommt zu Geld, wie die Jungfrau zum Kind..."' Wer durch Erbschaft oder andere Umstände zu einem größeren Kapital kommt, kann entsprechend der Abschnitte 5.2 und 5.3 prüfen, ob dieses Geld für die Rente mit eingesetzt werden kann. Die Praxis zeigt aber, dass durch Investition oftmals größere Erfolge erzielt werden können. Übrigens sollte es einigermaßen ehrenwert bleiben seinen Nachkommen etwas zu hinterlassen.
Umdenken: Einige Leser werden über die hier angegebene Rentenvorsorge "`Umdenken"' schwer erschrecken. Man sollte allerdings darüber nachdenken, ob die finanzielle Versorgung im Rentenalter noch "`habhaftes"' Sparen zulassen muss.

Die Rente vom Staat

Das Bundesministerium für Arbeit der Bundesrepublik Deutschland unterhält eine Homepage, von der sehr nützliche Informationen zur gesetzlichen Rentenversicherung bezogen werden können. Via Internet sollte man folgende Seite einmal besuchen: http://www.bma.de/.

Der Berechnungsalgorithmus für die gesetzliche Rentenversicherung kann nur auf einer verfügbaren Datenbank basieren. Wegen Nichtverfügbarkeit einer solchen Quelle stellt ZinsMath zu diesem Sachverhalt kein Berechnungsmenü zur Verfügung.

In gesonderter Form soll aber darauf hingewiesen werden, dass die heutige Rentenberechnung in Zukunft nicht gültig sein muss. Eine Extrapolation der jetzigen Einkommensverhältnisse auf kommende Jahre liefert nur ein virtuelles Ergebnis.

Ewige Rente

Natürlich kann entsprechend des vorhergehenden Abschnittes die Frage gestellt werden: "`Welches Kapital benötigt man um von den Zinsen leben zu können?"' Eine solche "`große"' Fragestellung ist oftmals eher nicht von Interesse. Insofern kann korrigiert werden in : "`Welches Kapital kann aus den Zinserträgen entnommen werden, ohne dass das Guthaben verändert wird?"' Somit muss folgende finanzmathematische Aufgabe gelöst werden, welche in Tabelle 13 beschrieben ist und in ZinsMath angeboten wird.

Table: Benötigtes Kapital für eine ewige Rente

monatliche Rente mRente:	1000.- EUR
Jahreszinsfaktor jZF:	1.07 (7.0 % p.a.)
Verzinsung:	einmal jährlich
Laufzeit m:	$\infty$

Anlagebetrag K:	gesucht

Für genannte Problematik kann Gleichung 34 geschrieben werden.

$\displaystyle \frac{K \cdot jZF - K}{12} \equiv mRente$

(34)

Obwohl Gleichung 34 sehr leicht lösbar ist, wird in ZinsMath ein entsprechendes Menü angeboten. Die Gleichung wird nach der Variablen Kapital K aufgelöst und man kann schreiben:

$\displaystyle K = \frac{mRente}{\frac{1}{12}jZF - \frac{1}{12}}$

(35)

Für das in diesem Handbuch nunmehr zur Gewohnheit gewordene Beispiel wird oben genannte Aufgabe mit K = 171428.57 EUR gelöst.

Für diese Lösung ist zu gewährleisten, dass die jährliche Verzinsung des Kapitals sichergestellt ist.

Nicht nur der guten Ordnung wegen muss an dieser Stelle (erstmalig) darauf hingewiesen werden, dass in der Berechnung eventuelle steuerliche Belastungen aus Zinserträgen nicht berücksichtigt worden sind. Der ZinsMath-Anwender wird diese Lasten beachten müssen.

Rente mit Kapitalverzehr

Natürlich kann in Ableitung der Problematik aus Abschnitt 5.2 auch eine andere finanzmathematische Fragestellung diskutiert werden: "`Welches Kapital benötigt man um über einen gewissen Zeitraum eine monatliche Rente auszuzahlen?"' Eine solche Thematik spielt immer dann eine Rolle, wenn kurze Zeiträume überbrückt werden müssen. Das in Tabelle 14 gewählte Beispiel mit einer Laufzeit von 10 Jahren sollte somit eine obere Grenze darstellen.

Table 14: Zeitlich begrenzte Rentenzahlung aus einem vorhandenen Kapital

monatliche Rente mRente:	500.- EUR
Jahreszinsfaktor jZF:	1.03 (3.0 % p.a.)
Verzinsung:	einmal jährlich
Laufzeit m:	120 Monate

Anlagebetrag K:	gesucht

Anmerkung:	der Anlagebetrag K ist zum Ende
	der Laufzeit aufgebraucht

Für die angegebene Aufgabe kann (für zunächst fünf monatliche Entnahmen) folgendes Gleichungssystem 36 geschrieben werden.

$\begin{displaymath}\begin{split} K \cdot jZF - 12\cdot mRate &= a1 a1 \cdot j... ...mRate &= a4 a4 \cdot jZF - 12\cdot mRate &= 0 \end{split}\end{displaymath}$

(36)

Die Gleichungen in 36 können zusammengefasst und nach dem Kapital K aufgelöst werden.

$\displaystyle K = 12 \cdot mRente \cdot \frac{jZF^4+jZF^3+jZF^2+jZF+1}{jZF^5}$

(37)

Gleichung 37 lässt sich auch für beliebige Laufzeiten schreiben. Man erhält:

$\displaystyle K = 12 \cdot mRente \cdot \frac{\sum_{j=0}^{i-1}jZF^j}{jZF^i}$

(38)

Durch einiges Glück lässt sich die Gleichung 38 auch für den Taschenrechner aufbereiten. Man erhält die in ZinsMath verwendete Formel 39:

$\displaystyle K = -12 \cdot mRente \cdot \frac{-1+jZF^{-i}}{jZF-1}$

(39)

Für das in Tabelle 14 aufgezeigte Beispiel berechnet sich das benötigte Kapital mit K = 51181.21 EUR.

Anmerkung: Die Berechnungsgrundlage des Abschnittes 5.3 realisiert den vollständigen Kapitalverzehr, soll heißen, das für die Rentenzahlung eingesetzte Kapital K ist zum Ende der Laufzeit aufgebraucht.

Kredite

Kredite können sehr sinnvoll sein. Mit einer derart überaus streitbaren These soll dieses spannende Kapitel der Finanzmathematik eröffnet werden. Natürlich muss sofort angegeben oder diskutiert werden, auf welcher Grundlage ein solcher Satz gelten soll, und wann er überhaupt Richtigkeit besitzen kann.

Kredite spielen immer dann eine Rolle, wenn über Kapital verfügt werden soll, welches selbst nicht aufgebracht werden kann. Darüber hinaus kann es auch Situationen geben, bei denen die finanziellen Reserven nicht völlig aufgebraucht werden sollen und es insofern besser ist Geld "'zu beschaffen"'.

Egal, welche Kreditform gewählt wird, in jedem Fall wird der Kreditgeber (Geldinstitut) das Kapital nicht ohne Gegenleistung überlassen - er wird Zinsen für die Überlassung von Kapital verlangen.

Alle Kredite werden für gewöhnlich in Raten zurückgezahlt. Eine Rate besteht aus einem Zins- und einem Tilgungsanteil¹⁰.

Liest man sich in das Kapitel "'Kredite"' ein wenig ein und betrachtet man die in der Praxis zur Geltung kommenden Kreditverträge, wird sehr schnell deutlich, dass es eine große Anzahl von Kreditarchitekturen gibt. An dieser Stelle sollen einige Einflussfaktoren genannt werden, die einen Kreditverlauf beeinflussen.

Häufigkeit der Ratenzahlung
Verrechnungstermine für Zinsen
Verrechnungstermine für Tilgung
weitere Randbedingungen

Man unterscheidet grundsätzlich zwischen Ratenkrediten und Annuitäten- und Hypothekendarlehen.

Bei der Vergabe von Kreditnamen bezüglich der Ratenkredite darf man sich nicht zu sehr beeindrucken lassen. Die Anbieter entwickeln große Fantasien um dem vermeindlichen Konsumenten einen Ratenkredit schmackhaft zu machen.

Im Dezember des Jahres 1999 hätte man bei einer bekannten Bank beispielsweise einen Weihnachtskredit abholen können. Der Effektivzins¹¹ für dieses Angebot hatte allerdings nur wenig vom weihnachtlichen Gedanken.

Die Angebote von Ratenkrediten zu vergleichen ist oftmals wegen unterschiedlicher Randbedingungen außerordentlich schwierig. ZinsMath bietet drei Berechnungsmasken an, welche in dieser Dokumentation auch vorgestellt werden. Sollte keines der Verfahren einem Angebot entsprechen, wird ZinsMath über eine Renditeberechnung Transparenz schaffen. Der Nutzer kann somit alle Ratenkredite vergleichen.

Wenn allerdings der Begriff Annuitäten- oder Hypothekenkredit auftaucht, sind die Berechnungsgrundlagen im Allgemeinen vergleichbar. ZinsMath kann diese Kreditform nicht nur berechnen, sondern in seiner neuesten Release 3.0 auch Zahlungsverläufe (Tabellen) visuallisieren und ausdrucken.

Table 15: Anwendungen Kredite

Kreditform	Anwendungsgebiete
Annuitäten- und Hypothekenkredit	Finanzierung eines Grundstückes, einer Eigentumswohnung oder eines Hauses
Ratenkredit	Schlussfinanzierung eines Annuitätendarlehens, Finanzierung eines Autos

Selbstverständlich kann man an dieser Stelle beliebig viele weitere Möglichkeiten angeben, die die Inanspruchnahme eines Kredites bedeuten könnten. Man sollte aber mit Kreditverträgen, egal welcher Art, sehr vorsichtig umgehen.

Annuitätendarlehen stellen gegenüber den Ratenkrediten eine gewisse Sonderstellung dar. Zum Erwerb von oben genanntem Eigentum sind derartige Kreditformen notwendig. Es macht in der Tat keinen Sinn bis ins höhere Lebensalter zu sparen um dann eine größere Anschaffung, beispielsweise in Form einer Eigentumswohnung, zu tätigen. Schließlich will man das neue Eigentum auch mit allen Familienmitgliedern noch genießen können. Hat man diverse finanzielle Grundlagen aufbauen können, kann man einer Finanzierung zum Schaffen von Wohneigentum locker entgegensehen.

Und noch etwas: Wer zur Miete wohnt, kann diese Kosten jederzeit in ein Annuitätendarlehen stecken, die Miete muss ja auch gezahlt werden. Im Gegensatz zur Miete können diese Kreditkosten (Voraussetzung: Eigenbedarf) steuerlich geltend gemacht werden. Wer dann noch Kinder hat, kassiert auch noch anderweitig...

Wo sind die Unterschiede zwischen einem Ratenkredit und einem Annuitätendarlehen zu sehen:

Ratenkredite haben die Eigenschaft, dass zum Ende der Laufzeit die Restschuld gleich Null ist. ZinsMath realisiert jedenfalls nur diese Form. Registrierte ZinsMath User, welche an der Berechnung einer Balon-Finanzierung Interesse haben, wenden sich bitte über die http://www.zinsmath.de/ZinsMath-Homepage an Herrn mailto:wehner@zinsmath.de?subject=Anfrage_zu_einer_BalonfinanzierungWehner um entsprechende Unterstützung zu erhalten.
Ratenkredite werden in der Regel mit Laufzeiten zwischen einem Jahr und maximal fünf Jahren ausgestattet.
Annuitätendarlehen werden auf eine bestimmte Laufzeit mit einem Zinssatz behaftet (Zinsfestschreibung). Die Höhe der Restschuld zum Ende der Vertragslaufzeit hängt von der (monatlichen oder prozentualen anfänglichen) Tilgungshöhe ab. In aller Regel ist der Restschuldbetrag von Annuitätenkrediten $\neq$ Null.
Die Tilgungshöhe bei Annuitäten- und Hypothekenkrediten kann in gewissen Bereichen vom Kreditnehmer selbst festgelegt werden, sie sollte zwischen wenigstens 1% und 3% liegen. Die Tilgung hat natürlich entscheidenden Einfluss auf die Höhe der Rate und die Restschuld.
Werden Annuitätendarlehen zur Finanzierung von selbst genutzem Wohneigentum eingesetzt, können diese Lasten steuerlich geltend gemacht werden.

ZinsMath bietet bezüglich der Ratenkredite drei Formen der Berechnung an, welche in tabellarischer Form kurz beschrieben werden sollen. Die im Gegensatz zu den Ratenkrediten weitaus übersichtlichere Berechnung der Annuitäten- und Hypothekenkredite wird auf folgender Grundlage angeboten, siehe Tabelle 16.

Table 16: Berechnungsgrundlagen Kredite

	Berechnungsgrundlage
Ratenkredite I	Diese Form der Ratenkreditberechnung wird gegenwärtig eher selten berücksichtigt. Sie wird aber auf Grundlage exakter Finanzmathematik in diesem Buch vorgestellt und im Paket ZinsMath angeboten.
Ratenkredite II	Diese Form der Ratenkreditberechnung wird in der Praxis oft angewandt. Sie berücksichtigt allerdings nicht die Wirkung des unterjährigen Zinsflusses. Der Kreditnehmer zahlt somit vom ersten bis zum letzten Tag des Kreditverhältnisses Zinsen auf den vollen Finanzierungsbetrag.
Ratenkredite III	Renditeberechnung aus Nominalkredit und Monatsrate
Annuitäten- und Hypothekenkredite	Der Berechnungsalgorithmus unterstützt die im Allgemeinen angewendeten Formeln der Banken. Auf problematische Stellen wird in diesem Handbuch hingewiesen. Die Verrechung der Tilgung und die Anwendung des nominalen Zinssatzes wird hier eine zentrale Rolle spielen. [5],[6]

Wenden wir uns nun den einzelnen Berechnungen zu...

Ratenkredite

In Abschnitt 6 wurde bereits hinreichend auf die Bedeutung und Anwendungsgebiete von Ratenkrediten eingegangen. Aus diesem Grund müssen zunächst die für alle drei Berechnungsmenüs gültigen Randbedingungen genannt werden.

Restschuld zum Ende der Laufzeit gleich Null
monatliche Ratenzahlung
Effektivzinsberechnung nach PAngV

Weitere Gemeinsamkeiten sind für die Berechnungen Ratenkredit I, Ratenkredit II und Ratenkredit III leider nicht zu benennen. Hat man aber die Möglichkeit aus einer der genannten Berechnungen auszuwählen, würde man sich sicherlich (aus Sicht eines Kreditnehmers!) für Ratenkredit I entscheiden. Der Grund hierfür soll nun aufgezeigt werden.

Methoden zur Berechnung der monatlichen Rate

Ratenkredite I

Wie bei allen Kreditgeschäften besteht die Rate eines Kredites (Ratenkredites) aus einem Zins- und einem Tilgungsanteil. Ratenkredite haben aber die Eigenschaft, dass zum Ende der Laufzeit die Restschuld gleich Null ist. Für einen Ratenkredit über 36 Monate und einem monatlichen Aufzinsungsfaktor mZF lässt sich somit das Gleichungssystem 40 aufschreiben.

$\begin{displaymath}\begin{split} G \cdot mZF - R &= RS_1 RS_1 \cdot mZF - ... ...3 \cdot & RS_{35} \cdot mZF - R &= 0 \end{split}\end{displaymath}$

(40)

Die Gleichungen in 40 lassen sich zusammenfassen und nach der Rate R auflösen. Dabei entsteht ein einfacher Ausdruck der Form:

$\displaystyle R = G \cdot \frac{mZF^m}{mZF^m - 1} \cdot (mZF-1)$

(41)

Mittels Gleichung 41 kann die monatliche Rate eines Ratenkredites für nachschüssige Zahlungen berechnet werden.

In nunmehr gewohnter Weise soll im Folgenden als Beispiel die Berechnung der monatlichen Rate für einen Kredit über 15000.- EUR, einer Laufzeit von 36 Monaten und einem Zinssatz von 5.2 % pro Jahr vorgerechnet werden. Zum Einsatz kommen die Gleichungen 3 und 41.

$\displaystyle mZF = \sqrt[12]{\frac{5.2}{100} +1} = 1.004233$

$\displaystyle R = 15000 \cdot \frac{1.004233^{36}}{1.004233^{36} - 1} \cdot (1.004233 - 1) = 450.1$

Somit ergibt sich eine monatliche Rate von 450.10 EUR für oben genannten Ratenkredit und Konditionen. Der Restschuldverlauf dieses Kredites ist in Abbildung 7 grafisch dargestellt.

**Figure 7:** Restschuldverlauf eines Ratenkredites
$\begin{figure} \centering\epsfig{file=rkredit,width=80mm} \end{figure}$

Gleichung 41 ist für Kredite mit ganzzahliger jährlicher Laufzeit äquivalent mit der in [1] angegebenen Rentenformel bei nachschüssiger Zahlung.

Ratenkredite II

ZinsMath versucht nicht nur exakte Finanzmathematik anzubieten, sondern behält auch den Blick auf die in der Praxis angebotenen Berechnungsverfahren. Aus diesem Grund muss an dieser Stelle erwähnt werden, dass Ratenkredit I aus Kapitel 6.2.1 derzeit eher nicht realisiert wird. Es bleibt abzuwarten, ob sich eine solche Verfahrensweise durchsetzen wird.

Vielmehr bieten die Kreditinstitute eine für den Verbraucher ungünstige, aber übersichtlichere Berechnungsgrundlage an. In Tabelle 17 ist ein solch typisches Beispiel angegeben.

Table 17: Ratenkredit - Beispiel

1	Kreditbetrag G	15000.- EUR
2	Zinssatz pro Monat mZ	0.65%
3	Bearbeitungsgebühr Gb	2.00%
4	Kreditlaufzeit m	36 Monate
5	Summe Zinsen	3510.00 EUR
6	Bearbeitungskosten	300.00 EUR
7	Summe Kreditkosten	3810.00 EUR
8	Gesamtschuld	18810.00 EUR
9	Monatsrate	522.50 EUR
10	Effektiver Jahreszins	16.63 % p.a.

Die Vorgänge der einzelnen Zeilen sollen nun in sehr kurzer Form angegeben und beschrieben werden.

In Zeile 1 ist der Netto-Kreditbetrag angegeben.
In Zeile 2 wird ein monatlicher Zins benannt.
In Zeile 3 werden Bearbeitungsgebühren auf den Netto-Kreditbetrag erhoben.
Zeile 4 gibt die Laufzeit im Monaten an.
In Zeile 5 werden die Kreditkosten berechnet. Dies geschieht auf abenteuerliche Weise. Es werden die Monatszinsen des ersten Monats berechnet und diese dann mit der Laufzeit multipliziert. Für das Beispiel kann also geschrieben werden: $(1.0065 \cdot 15000 - 15000 ) \cdot 36$ . Eine Tilgung während der Laufzeit wird daher nicht berücksichtigt.
Zeile 8 ergibt sich dann aus den Zeilen 5,6 und 7.
Die Monatsrate ergibt sich dann aus dem 36igsten Teil der Gesamtschuld aus Zeile 8.
Die Effektivzinsberechnung wird von uns gesondert behandelt, siehe Abschnitt 6.2.3.

Diese Methode zur Berechnung der monatlichen Rate eines Ratenkredites muss natürlich als kritisch bewertet werden. Es ist ausdrücklich zu empfehlen, dass derartige Verträge nur für sehr kurze Laufzeiten Berücksichtigung finden sollten.

Effektivzinsberechnung

Die Hintergründe der Effektivzinsberechnung für Ratenkredite soll in recht kompakter Form vorgestellt werden. Für Interessenten, die weitergehende Informationen wünschen, verweisen wir in zufälliger Reihenfolge auf [5] und [6]. Darüber hinaus sind wir im Internet auf eine didaktisch hervorragende Homepage gestoßen und wollen [8] empfehlen.

Bei Krediten spricht man von Effektivzins, bei Sparanlagen von Rendite. Beides ist im Prinzip das Gleiche. Aus diesem Grund wird in dieser Dokumentation keine gesonderte Variable eingeführt, der Effektivzins wird somit mit der Größe Rendite Re bezeichnet.

Bevor man über einen Effektivzins spricht, muss eine eindeutige Begriffsdefinition sichergestellt sein. Man unterscheidet zwischen:

Nominalzins:

Nominalzins ist der auf den Nennwert bezogene Ertrag eines Wertpapiers oder Kredites.

Effektiver Jahreszins (frz. effectiv = wirklich, tatsächlich):

Effektiver Jahreszins ist die in einem Vomhundersatz des Nettokreditbetrags anzugebende Gesamtbelastung pro Jahr. In Kreditverträgen muss der effektive Jahreszins nach § 4 Verbraucherkreditgesetz angegeben werden. Er drückt für den Schuldner das wirkliche Leistungsentgelt für die Zurverfügungstellung eines Kredits aus, er ist zugleich Ausdruck der Rentabilität (Rendite) bei dem Kreditgeber. Dabei sind auch Bearbeitungsgebühren, Verwaltungskostenzuschläge und Zinsanpassungsklauseln oder Zinsgleitklauseln zu beachten.

In der Bundesrepublik Deutschland sind Kreditkosten nach der Preisangabenverordnung PAngV anzugeben. Zum 01.09.2000 trat eine Änderung der Preisangabenverordnung in Kraft (geänderte EG-Verbraucherkredit-Richtlinie), die insbesondere der Umsetzung der EG-Rechtsakte zum Verbraucherkredit dient, nämlich im Hinblick auf den effektiven Jahreszins von Krediten, dessen Merkmale durch eine Änderungsrichtlinie 1998 einheitlich neu bestimmt wurden. Gem. § 6 II der Neufassung (vom 28.7.2000, BGBl I 1244) ist der hierfür anzugebende Prozentsatz nach einer im Anhang der Rechtsverordnung enthaltenen mathematischen Formel und dort angegebenen Vorgehensweisen zu berechnen. Der Entwurf dieser Verordnung kann in Form eines Word Dokumentes von http://www.zinsmath.de/www.zinsmath.de heruntergeladen werden¹².

Nun aber genug mit Definitionen und juristisch geprägtem Deutsch!

**Figure 8:** Wege zur Berechnung des Effektivzinses
$\begin{figure} \centering\epsfig{file=effektivzinsrkredit,width=100mm} \end{figure}$

In Abbildung 8 sind die Berechnungsgrundlagen vorgestellt. Der Vollständigkeit halber ist auch die bisherige (alte) PAngV mit angegeben. ZinsMath realisiert allerdings nur noch die nunmehr gültige Fassung der PAngV.

Man kann Gültigkeiten und Anwendbarkeit benennen und wie folgt zusammenfassen:

Die Uniformmethode: Die Berechnungsvorschrift für dieses Verfahren ist Gleichung 42 zu entnehmen.
Die alte PAngV: Viele Computerprogramme benutzen diese Vorschriften noch. Die ALTE Version der PAngV ist nicht mehr gültig.
Die aktuelle PAngV¹³: Diese Version wird natürlich von ZinsMath Version 3.0 berücksichtigt.

Die Gleichung der Uniformmethode lautet:

$\displaystyle Re = \frac{Gesamtkosten \cdot 2400}{(Laufzeit + 1)\cdot Nettokredit}$

(42)

Wird der Berechnungsalgorithmus zur Bestimmung der monatlichen Raten aus Gleichung 42 angewendet, wird der Effektivzins nach Gleichung 43 berechnet. Hier zeigt sich auf besondere Weise die Transparenz dieser Verfahrensweise. Für Gleichung 42 gilt: Nominalzins = Effektivzins!

$\displaystyle \frac{1203.70 \cdot 2400}{37 \cdot 15000} = 5.205$

Selbstverständlich soll die Renditeberechnung zu Beispiel Ratenkredit II , siehe Tabelle 17, auch angegeben werden. Für einen solchen Fall muss geschrieben werden:

$\displaystyle \frac{3810 \cdot 2400}{37 \cdot 15000} = 16.47$

Es muss an dieser Stelle angezeigt werden, dass der in Tabelle 17 angegebene Effektivzins der nicht mehr gültigen PAngV entspricht. Es sollen aber keine Beispielrechnungen zu veralteten Grundlagen geliefert werden.

Nach der nunmehr gültigen Version der PAngV muss der Effektivzins nach Gleichung 43 berechnet werden. In dieser Variante werden die Einzahlungen (Raten) jeweils einzeln abgezinst und addiert, bis der Nettokredit G gleich groß ist. Insofern werden die Zahlungen miteinander verglichen. In einer etwas anderen Schreibweise kann Gleichung 43 auch für unregelmäßige und ungleiche Ratenzahlungen angewendet werden.

$\displaystyle G = \sum_{m=1}^{i}\frac{R}{(1+mZF)^{\frac{m}{12}}}$

(43)

In 43 ist G ein Nettokreditbetrag. Die Raten R sind gleich groß und werden in gleichen Abständen monatlich gezahlt. Die Variable i ist die Laufzeit in Monaten.

Wiederum soll die Renditeberechnung entsprechend der Abschnitte 6.2.1 und 6.2.2 aufgeschrieben werden und es gilt nach Vorschrift 42:

$\displaystyle 15000 = \sum_{m=1}^{36}\frac{450.1}{(1+mZF)^{\frac{m}{12}}}$

(44)

Gleichung 44 wird für mZF = 0.05199 gelöst. Die Rendite beträgt somit 5.199 %. Letztlich muss noch die Gleichung für die Ratenkreditberechnung nach Tabelle 17 abgegeben werden:

$\displaystyle 15000 = \sum_{m=1}^{36}\frac{522.5}{(1+mZF)^{\frac{m}{12}}}$

(45)

In Gleichung 45 stellt mZF = 0.164688 eine Lösung dar. Die Rendite beträgt also 16.4 %.

Table 18: Ratenkredit - Effektivzinsberechnung

	Ratenkredit I	Ratenkredit II
Rate	450.10 EUR	522.50 EUR
Nominalzins	5.2 % pro Jahr	0.65 % pro Monat
Uniformmethode	5.205 %	16.47 %
PAngV	5.199 %	16.468 %

Die Ergebnisse sind in Tabelle 18 noch einmal in übersichtlicher Form zusammengestellt. Es haben sich dabei die Vorteile der einzelnen Methode gezeigt. Bei glücklichen Konditionen kann der Effektivzins mittels der Uniformmethode vielleicht sogar im Kopf ausgerechnet werden. Allerdings steht die Uniformmethode nicht auf sicherem juristischen Boden. Im Gegensatz dazu ist die Renditeberechnung nach der Methode PAngV nur mit rechentechnischen Hilfsmitteln durchzuführen.

Ratenkredite III

Wir hatten vormalig schon darauf hingewiesen, dass es nicht möglich sein wird, alle Architekturen zu Ratenkreditangeboten in ZinsMath zu berücksichtigen. Sollten Sie mit den Menüs der Abschnitte 6.2.1 und 6.2.2 keine zufriedenstellende Lösung erzeugen können, verwenden Sie bitte Ratenkredite III aus diesem Abschnitt 6.2.4.

Über eine Renditeanalyse können beliebige Kredite miteinander verglichen werden. Grundlage für diese Berechnung ist Gleichung 43.

Aus gegebener Monatsrate R, dem Netto Kreditbetrag G, einem monatlichen Zinsfaktor mZF und der Laufzeit m im Monaten läßt sich die Rendite Re errechnen.

Annuitäten- und Hypothekenkredite

Annuitäten- bzw. Hypothekenkredite spielen in der Finanzwelt eine zentrale Rolle. Sie dienen nicht nur der Finanzierung von Grundstücken und Wohneigentum, vielmehr werden auch in der Wirtschaft größere Finanzierungen über diese Berechnungsform abgewickelt. Nach [2] ist Annuität die Jahresrate zur Abtragung und Verzinsung einer Schuld. Wie auch bei den Ratenkrediten und somit kurzzeitigen Finanzierungen besteht die Rate (Annuität) aus den Anteilen Zins und Tilgung. Der wesentliche Unterschied besteht aber darin, dass die Höhe der Tilgung in gewissen Spielräumen vom Kreditnehmer selbst festgelegt werden kann. So ist es beispielsweise üblich und möglich, dass zu Beginn einer Finanzierung für einen bestimmten Zeitrahmen Tilgungsfreiheit vereinbart wird. Der Zinsanteil der Annuität wird hingegen vom Kreditgeber vorgegeben. Der Nominalzins (Preis) eines Annuitätenkredites sollte sich nach den Vorgaben der Bundesbank richten. Da die Banken sich die Gelder auch beschaffen (und teilweise leihen) müssen, kann es keine Angebote unterhalb der Leitzinsen der BB geben.

**Figure:** Faktoren zur Beurteilung eines Annuitätendarlehens
$\begin{figure} \centering\epsfig{file=annu,width=100mm} \end{figure}$

Eine wichtige und überaus zentrale Frage stellt immer wieder die Beurteilung von Annuitätenkrediten dar. In Abbildung 9 sind einige Faktoren aufgezeigt, die Einfluss auf den Kreditverlauf haben. Man erkennt sehr schnell, dass es einige Parameter gibt, die voneinander abhängen. Annuitätenkredite werden nicht zwangsläufig zu 100 % ausgezahlt. Daher muß bei der Bewertung einer solchen Kreditform natürlich auch auf den Auszahlungskurs Rücksicht genommen werden. Aus Sicht der Finanzmathematik scheint nur die Ermittlung der Effektivverzinsung ein geeignetes Werkzeug hierfür bereitzustellen. Darüber hinaus hat der Gesetzgeber in Form der Preisangabenverordnung Rahmenbedingungen vorgegeben.

Bevor nunmehr die Formeln zur Berechnung der Annuität, Restschuld und Laufzeit angegeben werden, sollen an dieser Stelle nun einige wichtige Begriffe, die bei der Berechnung und Diskussion von Annuitätenkrediten eine wichtige Rolle spielen, erläutert werden:

Auszahlungskurs: Der Auszahlungskurs gibt an, wieviel Geld Sie tatsächlich in die Hand bekommen.
Nominalzins: Der Nominalzins gibt an, in welchem Maße die aktuelle Restschuld verzinst wird (Zinskosten).
Tilgung: Die Tilgung gibt an, in welchem Maße die Schulden abgetragen werden. Die Tilgung wird meistens in % angegeben und bezieht sich auf die aktuelle Restschuld eines jeden Jahres. Daher spricht man von anfänglicher Tilgung.
Zinsfestschreibung: Annuitätenkredite haben oftmals Laufzeiten, bei denen die Kreditgeber nicht über den gesamten Zeitraum einen festen Zins (Nominalzins) garantieren wollen. Die Zinsfestschreibung gibt an, wie lange der Nominalzins nicht verändert wird. PS: Die Banken halten sich aber immer eine Hintertür offen!
Restschuld: Die Restschuld hängt maßgeblich von der Höhe der Tilgung ab. Oftmals bezieht sich die Restschuld auf den Zeitpunkt der Zinsfestschreibung, die dann nicht gleich Null sein muss!

Zur Berechnung der Annuität und Restschuld genannter Kreditform soll hier folgendes Beispiel betrachtet werden:

Table: Annuitätendarlehen - Beispiel - jährlich

Kreditvolumen KV:	100000.- EUR
Auszahlungskurs KA:	90 %
Jahresnominalzins jZ:	5.25 % p.a.
Laufzeit ZFS:	10 Jahre
Tilgung anfänglich TI:	2 %
Zahlweise:	1 Rate pro Jahr
	nachschüssig

Für die in Tabelle 19 genannten Verhältnisse berechnet sich die jährliche Annuität entsprechend Gleichung 46.

$\displaystyle A = \frac{1}{100} \cdot KV \cdot (jZ + TI)$

(46)

Es ergibt sich die jährlich zu zahlende Annuität A = 7250.- EUR. Darüber hinaus interessiert mit Blick auf das Rechenbeispiel die Restschuld nach 10 Jahren. Sie lässt sich mittels Gleichung 47 ermitteln.

$\displaystyle RS = KV \cdot (\frac{jZ}{100}+1)^j - A \cdot \frac{(\frac{jZ}{100}+1)^j -1}{(\frac{jZ}{100}+1)-1}$

(47)

Es ergibt sich eine Restschuld von 74548,72 EUR nach 10 Jahren. In Tabelle 21 ist der Kreditverlauf für das genannte Berechnungsbeispiel dargestellt.

Natürlich lässt sich die Gleichung 47 auch zur Bestimmung der Gesamtlaufzeit verwenden. In diesem Fall ist RS = 0 und die Gleichung ist nach den Jahren j aufzulösen. Somit ergibt sich folgender Ausdruck:

$\displaystyle j = \frac{\ln(-100 \cdot \frac{A}{(KV \cdot jZ -100 \cdot A)})}{\ln(\frac{1}{100} \cdot jZ +1)}$

(48)

Setzt man die Werte aus Tabelle 19 in Gleichung 48 ein, so ergibt sich eine Laufzeit j von 25.168... Jahren. Der Kredit läuft somit über volle 25 Jahre und einen kleinen Rest (2 Monate). Die Ermittlung der Gesamtlaufzeit eines Annuitätenkredites ist auch für die Berechnung der Effektivverzinsung notwendig.

Annuitäten- und Hypothekenkredite bei monatl. Verrechnungen

In ZinsMath wird, wiederum mit Blick auf die in der Praxis zur Anwendung kommenden Formen, entgegen des Beispieles in Abschnitt 6.3 von unterjähriger, monatlicher Annuitätenzahlung und Zinsverrechnung ausgegangen. Aus Tabelle 19 verändert sich somit die Zahlweise wie folgt:

Table: Annuitätendarlehen - Beispiel - monatlich

Kreditvolumen KV:	100000.- EUR
Auszahlungskurs KA:	90 %
Jahresnominalzins jZ:	5.25 % p.a.
Laufzeit ZFS:	10 Jahre
Tilgung anfänglich TI:	2 %
Zahlweise:	12 Raten pro Jahr
	nachschüssig
	monatliche Verrechnung von
	Zins und Tilgung

In Tabelle 22 ist der Zahlungsverlauf für das geschilderte Modell angegeben.

Natürlich erkennt man auf den ersten Blick, dass es Unterschiede in den Tabellen 21 und 22 gibt. Die Restschuld zum Laufzeitende hängt offensichtlich von der Häufigkeit der Ratenzahlungen und der Häufigkeit der Zins- und Tilgungsverrechnung ab! Einen solchen Satz sollte man sich merken!

Es kann darauf hingewiesen werden, dass für den angegebenen (kleinen) Kredit, bereits nach einer Laufzeit von 10 Jahren, eine Differenz von 778,74 EUR besteht.

In Abbildung 10 ist die Wirkung der Zahlungen gemäß der Vertragsbedingungen nach Tabelle 20 dargestellt.

**Figure 10:** Verlauf Zinskosten und Tilgung
$\begin{figure}\centering\epsfig{file=zins+tilgung,width=80mm} \end{figure}$

In Abbildung 11 ist der Restschuldverlauf für 10 Jahre dargestellt. Die nichtlineare Gestalt der Funktion sollte zur Kenntnis genommen werden.

**Figure:** Restschuldverlauf eines Annuitäten- und Hypothekendarlehens
$\begin{figure}\centering\epsfig{file=restschuld-annu-mon,width=80mm} \end{figure}$

Obwohl ZinsMath in nahezu stoischer Form Neutralität anbietet, sollen an diesem Punkt doch Tipps in der Form einer Checkliste für einen Kreditnehmer angegeben werden:

Vergleichen und beurteilen Sie Angebote zu AHD ausschließlich nach dem Effektivzins.
Hinterfragen Sie allerdings, ob alle Kosten des Kredites in der Effektivzinsberechnung berücksichtigt worden sind.
Wenigstens als Privatkunde fordern Sie eine monatliche Zahlweise Ihrer Raten und die monatliche Verrechnung von Zins und Tilgung. Sie können das festlegen! ZinsMath gibt das Verhältnis der Summe Ihrer Zahlungen zur aktuellen Tilgung zum Vertragsende aus. Bei Vertragsverhandlungen lassen Sie sich diese Größe ausrechnen¹⁴.
Hinterfragen Sie die Zinsfestschreibung! Nach welcher Vorstellung oder Situationen kann die Bank die Zinsen verändern?
Gehen Sie auf Vertragsfeinheiten ein. Können Sondertilgungen sichergestellt werden? Wie oft? Wie werden diese verrechnet?

Effektivzinsberechnung von Annuitäten- und Hypothekenkrediten

Bei der Effektivzinsberechnung werden alle getätigten effektiven Zahlungen miteinander verglichen. Für weitergehende Informationen sei auf die Literatur [5] oder [6] verwiesen. Unter Verwendung der Variablen Re für den Effektivzins lassen sich für das beschriebene Beispiel aus Tabelle 19 die Zahlungen wie folgt in ein Verhältnis bringen:

$\displaystyle 90000 \cdot EZF^{26} - 7250 \cdot \frac{EZF^{25}-1}{EZF-1} \cdot EZF - 1188.89 \equiv 0$

(49)

Für EZF = 1.0634 wird die Gleichung 49 gelöst. Rechnet man letztlich den Effektivzinsfaktor in einen Zinssatz um, so wird der Beispiel-Annuitätenkredit mit einem jährlichen Effektivzinssatz von Re = 6.34 % belastet.

Die Effektivzinsberechnung von Annuitätenkrediten kann sich in Abhängigkeit von den vereinbarten Rahmenbedingungen recht kompliziert gestalten.

Der Vollständigkeit halber werden hier nun noch die Formeln angegeben, mit der ZinsMath die Effektivzinsberechnung von AHD für monatliche Zins- und Tilgungsverrechnung durchführt. Auf eine Herleitung der Gleichung 52 aus Gleichung 49 soll verzichtet werden. Vielmehr sind die Formeln aus [6] übernommen. Für Experten sei an dieser Stelle angemerkt, daß Gleichung 52 weitere Randbedingungen berücksichtigen kann, so beispielsweise tilgungsfreie Jahre etc.

$\displaystyle EZF = 1+\frac{Re}{100}$

(50)

$\displaystyle h = 1+(1+\frac{1}{rj}-\frac{T}{180})\cdot\frac{Re}{200}$

(51)

$\begin{displaymath}\begin{split}KA \cdot EZF^{ZFS} \equiv & jnZ \cdot h \cdot \f... ...+\frac{jnZ}{100 \cdot TV})^{(ZFS-TF) \cdot TV}-1))) \end{split}\end{displaymath}$

(52)

Entsprechend der Bedingungen aus Tabelle 20 wurde die Renditeberechnung durchgeführt und Re mit 7.01 % bestimmt¹⁵. Die gesuchte Größe in den Gleichungen 50 bis 52 ist aber Re und es kann geschrieben werden:

$\displaystyle EZF = 1+\frac{7.01}{100} = 1.0701$

(53)

Da die Raten monatlich gezahlt werden sollen, ist rj = 12. Die erste Rate ist nach einem Monat fällig, somit ist T = 30.

$\displaystyle h = 1+(1+\frac{1}{12}-\frac{30}{180})\cdot\frac{7.01}{200} = 1.032$

(54)

Nun ist die Hilfsgröße h bestimmt, die die Konditionen der Zahlweise und Zahlbeginn berücksichtigt.

Wenn das Ergebnis Re = 7.01 % Richtigkeit besitzen soll, muss Gleichheit für die linke und rechte Seite der Gleichung 52 zu zeigen sein.

Für eine Zinsfestschreibung ZFS von 10 Jahren und einem Auszahlungskurs KA von 90 % schreibt man zunächst:

$\displaystyle 90 \cdot 1.0701^{10} = 177.209$

(55)

Wegen monatlicher Tilgungsverrechnung ist TV = 12, die anfängliche Tilgung TI = 2 % und der Kredit soll bereits mit der ersten Rate getilgt werden. Somit ist TF = 0. In absichtlich ausgeschriebener Form gilt für die rechte Seite dann:

$\begin{displaymath}\begin{split}5.25 \cdot 1.032 \cdot \frac{1.0701^{10}-1.0701^... ...5}{100 \cdot 12})^{(10-0) \cdot 12}-1))) =& 177.209 \end{split}\end{displaymath}$

(56)

Wegen Äquivalenz der Gleichung 55 und 56 ist das vorweggenommene Ergebnis von Re = 7.01 % richtig¹⁶.

ZinsMath ermittelt die Lösung nach Gleichung 52 nach einem modernen Iterationsverfahren und gibt das Ergebnis für jede Berechnung aus.

Effektivzinsberechnung

Vorwort

Geldgeschäfte können, egal welchen Namen sie auch tragen, mathematisch beurteilt werden. Unterhält man sich über eine Sparform, so wird der Anleger gewöhnlich von dem Begriff der Rendite Gebrauch machen. Hingegen spricht man von einem Effektivzins, möchte man beispielsweise eine Finanzierung in Anspruch nehmen. Denkt man einige Minuten über diesen Sachverhalt nach, wird man sehr schnell zu der Erkenntnis gelangen, dass offensichtlich die Blickrichtung eine Rolle spielt. Verleiht man selbst Geld und bekommt es womöglich nach einem gewissen Zeitraum auch verzinst zurück, so wird man ebenfalls von Rendite aus diesem Geschäft sprechen.

Rendite = Effektivzins

Rendite und Effektivzins sind entscheidende Beurteilungskriterien!

ZinsMath - die Basis

Die seit etwa 1997 angebotene Software ZinsMath bietet dem Nutzer auf außerordentlich bequeme Art und Weise die Möglichkeit, Standardaufgaben der Finanzmathematik zu lösen. Von einigen (wenigen) Ausnahmen abgesehen, sind die ZinsMath - Analysen nur für gleiche Zahlungen über die gesamte Laufzeit gültig.

ZinsMathEZ - ein Zusatztool

ZinsMathEZ versteht sich als Erweiterung zum finanzmathematischen Tool ZinsMath wobei EZ für Effektivzins stehen soll.

Mittels ZinsMathEZ können (notfalls auch große Mengen) Daten aus Microsoft Excel¹⁷ Files gelesen und einer Effektivzisnanalyse unterzogen werden. Die Zahlungen können dabei monatlich und mit unterschiedlichen Beträgen berücksichtigt werden.

ZinsMathEZ - ein Wort zur Installation

Der Solver und die Excel Files liegen als komprimiertes und selbstentpackendes Archiv vor. Erstellen Sie zunächst ein beliebiges Verzeichnis Ihrer Wahl (z.B. ZinsMathEZ) und extrahieren Sie die Datei in diesem Verzeichnis. Übernehmen Sie bitte die Datenstruktur.


C:\ZinsMathEZ
             \Beispiele             --> Beispielfiles
             \Dokumentation         
             \Neu Analyse erstellen --> Vorlage neue Analyse
             \Programm              --> der Solver

Hintergrund einer Effektivzinsanalyse

Der entscheidende Vorteil der Effektivzinsanalyse (oder Renditeanalyse) ist die Tatsache, dass einfach nur alle getätigten Zahlungen miteinander verglichen werden.

Dabei werden die Zahlungen ">in ein Projekt"< solange aufgezinst, bis sie den aufgezinsten Zahlungen ">aus dem Projekt"< entsprechen.

In der Preisangabenverordnung wird hierfür folgende Formel bereitgestellt:

$\displaystyle \sum_{K=1}^{K=m} \frac{A_{K}}{(1+i)^{t_K}} = \sum_{K^*=1}^{K^*=m^*} \frac{A^*_{K^*}}{(1+i)^{t^*_K{^*}}}$

(57)

Somit spielen nur die einzelnen Beträge und die Termine der Zahlungen ein Rolle.

Warum eine Zahlung erfolgte (Kontoführungsgebühr, Bereitstellungsgeld, Ausgabeaufschlag, Nominalzinsen etc...) interessiert dabei nicht!

Für folgenden unrealistischen Zahlungsverlauf wird in Abbildung 13 der iterative Lösungsverlauf dargestellt.

                  Zahlungen hin         Zahlungen zurück
                  a[0]   =  500.;       b[0]   =    0.;
                  a[1]   =  500.;       b[1]   =  600.;
                  a[2]   =  500.;       b[2]   =  600.;
                  a[3]   =  500.;       b[3]   =  600.;
                  a[4]   =  500.;       b[4]   =  600.;
                  a[5]   =  500.;       b[5]   =  600.;
                  a[6]   =  500.;       b[6]   =  600.;
                  a[7]   =  500.;       b[7]   =  600.;
                  a[8]   =  500.;       b[8]   =  600.;
                  a[9]   =  500.;       b[9]   =  600.;
                  a[10]  =  500.;       b[10]  =  600.;
                  a[11]  =  500.;       b[11]  =  600.;
                  a[12]  =  500.;       b[12]  =  600.;

Dieses Projekt entspricht einem Effektivzins von 554.14 % p.a.

Dateninput via MS Excel

Wie bereits erwähnt, liesst ZinsMathEZ alle benötigten Werte aus Excel Dateien. Dabei muss eine vorgegebene Formatierung eingehalten werden.

Erstellung einer neuen Datenbasis

Zur Erstellung einer neuen Datenbasis führen Sie bitte folgende Schritte aus.

Öffnen Sie die Excel Vorlage ZinsMathEZ Berechnungsgrundlage erstellen.xls aus dem Verzeichnis Neue Vorlage erstellen.
Stellen Sie sicher, daß Sie Makros ausführen können. Dies hängt von Ihren Excel Sicherheitseinstellungen ab, siehe hierzu auch die Excel Dokumentation.
Falls Sie gefragt werden, bestätigen Sie bitte mit Makros aktivieren! Siehe hierzu Abbildung 14.
Tragen Sie nun in der Vorlage die Laufzeit des Projektes in Monaten ein. Siehe hierzu Abbildung 12.
Falls Sie dies wünschen, können Sie von Excel die Spalten Zahlungen hin und Zahlungen zurück auffüllen lassen. In den meisten Fällen wird es aber genügen, wenn Sie die Vorgaben zunächst übernehmen.

Figure 12: Globale Parameter - die Laufzeit
$\begin{figure} \centering\EPSrot[1.00*]{0}{exelvorgaben.eps} \end{figure}$
Betätigen Sie jetzt den Schalter Vorlage erstellen.
Bestücken Sie nun die Spalten C8 bis unten und D9 bis unten mit Ihren Werten.
Prüfen Sie abschleißend, ob Excel Ihre Eingaben akzeptiert (Plausibilität).
Speichern Sie nun die Datei unter einem neuen Namen ab.
Alle anderen Felder können Sie beliebig formatieren, mit Bemerkungen versehen, Kommentare einfügen o.ä.

Beispielfiles

Falls Sie zunächst einige Übung beim Verständnis der Effektivzinsanalyse benötigen, empfehlen wir einen Blick auf die beigelegten Beispieldateien. Diese Files liegen im Verzeichnis Beispiele.

Start eines ZinsMathEZ Laufes

Falls Sie nun eine Berechnungsvorlage besitzen, starten Sie einfach das Programm ZinsMathEZ. Die ausführbare Datei befindet sich im Verzeichnis Programm und meldet sich wie in Abbildung 16 dargestellt.
Selektieren Sie nun zuerst den Analysefile und starten Sie nun die Berechnung.
Falls eine Lösung gefunden wird (bei korrekter und sinnvoller Dateneingabe ist dies immer der Fall), erhalten Sie nun das Ergebnis, siehe Abbildung 17.

Taggenaue Effektivzinsberechnung

In Abschnitt 7 wurde ein Verfahren zur Effektivzins- bzw. Renditeberechnung nach Preisangabenverordnung vorgestellt. Kleinstes Inkrement für die jeweiligen Zahlungen ist dabei ein Monat. Insbesondere bei langwierigen Projekten sind monatliche Zahlungen oder gar größere Zahlungsabstände üblich.

Möchte man hingegen finanzmathematische Projekte bewerten, bei denen auch taggenaue Zahlungen exakt berücksichtigt werden, muß Gleichung 57 dahingehend aufbereitet werden.

Wichtig für den Anwendner ist hier zu wissen, daß ein Jahr nach der in der Bundesrepublik Deutschland gültigen PAngV 365 Tage hat. Diese Berechnungsmethode steht im Widerspruch zu anderen internationalen Vorschriften, ist aber die exaktere.

Für diese Berechnungsaufgabe stellen wir allen ZinsMath Lizenznehmern einen Excel File siehe Abbildung 18 zur Verfügung. Diese Umgebung beinhaltet auch einen Solver für oben genannte taggenaue Zahlungsströme.¹⁸

Anlage

Zahlungsverläufte Annuitäten- Hypothekendarlehen

Table: Zahlungsverlauf Annuitätendarlehen - jährlich

Laufzeit	Restschuld	Zinsen	Tilgung	Annuität
in
Jahren
0	100.000,00 EUR
1	98.000,00 EUR	5.250,00 EUR	2.000,00 EUR	7.250,00 EUR
2	95.895,00 EUR	5.145,00 EUR	2.105,00 EUR	7.250,00 EUR
3	93.679,49 EUR	5.034,49 EUR	2.215,51 EUR	7.250,00 EUR
4	91.347,66 EUR	4.918,17 EUR	2.331,83 EUR	7.250,00 EUR
5	88.893,41 EUR	4.795,75 EUR	2.454,25 EUR	7.250,00 EUR
6	86.310,32 EUR	4.666,90 EUR	2.583,10 EUR	7.250,00 EUR
7	83.591,61 EUR	4.531,29 EUR	2.718,71 EUR	7.250,00 EUR
8	80.730,17 EUR	4.388,56 EUR	2.861,44 EUR	7.250,00 EUR
9	77.718,50 EUR	4.238,33 EUR	3.011,67 EUR	7.250,00 EUR
10	74.548,72 EUR	4.080,22 EUR	3.169,78 EUR	7.250,00 EUR

Table: Zahlungsverlauf Annuitätendarlehen - monatliche Verrechnung

Laufzeit	Restschuld	Zinsen	Tilgung	Annuität
in
Monaten
0	100.000,00 EUR
1	99.833,33 EUR	437,50 EUR	166,67 EUR	604,17 EUR
2	99.665,93 EUR	436,77 EUR	167,40 EUR	604,17 EUR
3	99.497,80 EUR	436,04 EUR	168,13 EUR	604,17 EUR
4	99.328,93 EUR	435,30 EUR	168,87 EUR	604,17 EUR
5	99.159,33 EUR	434,56 EUR	169,61 EUR	604,17 EUR
6	98.988,98 EUR	433,82 EUR	170,35 EUR	604,17 EUR
7	98.817,89 EUR	433,08 EUR	171,09 EUR	604,17 EUR
8	98.646,04 EUR	432,33 EUR	171,84 EUR	604,17 EUR
9	98.473,45 EUR	431,58 EUR	172,59 EUR	604,17 EUR
10	98.300,10 EUR	430,82 EUR	173,35 EUR	604,17 EUR
11	98.125,99 EUR	430,06 EUR	174,11 EUR	604,17 EUR
12	97.951,13 EUR	429,30 EUR	174,87 EUR	604,17 EUR
			...
110	76.517,70 EUR	335,94 EUR	268,23 EUR	604,17 EUR
111	76.248,29 EUR	334,76 EUR	269,41 EUR	604,17 EUR
112	75.977,71 EUR	333,59 EUR	270,58 EUR	604,17 EUR
113	75.705,94 EUR	332,40 EUR	271,77 EUR	604,17 EUR
114	75.432,98 EUR	331,21 EUR	272,96 EUR	604,17 EUR
115	75.158,83 EUR	330,02 EUR	274,15 EUR	604,17 EUR
116	74.883,48 EUR	328,82 EUR	275,35 EUR	604,17 EUR
117	74.606,93 EUR	327,62 EUR	276,55 EUR	604,17 EUR
118	74.329,16 EUR	326,41 EUR	277,76 EUR	604,17 EUR
119	74.050,18 EUR	325,19 EUR	278,98 EUR	604,17 EUR
120	73.769,98 EUR	323,97 EUR	280,20 EUR	604,17 EUR

Umrechnungsfaktoren interner Zinsfluß

$\begin{rotate}{0} \scriptsize \begin{tabular}{\vert l\vert c\vert c\vert c\ve... ...023686 & 11.9 & 1.00941365 & 1.00031237 \\ \hline \end{tabular} \end{rotate}$

Abbildungen / Screenshots

**Figure 13:** Iterationsverlauf
$\begin{figure}\centering\EPSrot[0.75*]{0}{iteration.ps}\end{figure}$

**Figure 14:** Makros aktivieren in Excel
$\begin{figure}\centering\EPSrot[*]{0}{makros.eps}\end{figure}$

**Figure:** MS Excel generiert den Dateninput für *ZinsMath*EZ
$\begin{figure}\centering\EPSrot[1.0*]{0}{excel.eps}\end{figure}$

**Figure 16:** Start von *ZinsMath*EZ
$\begin{figure}\centering\EPSrot[1.00*]{0}{ezstart.eps}\end{figure}$

**Figure 17:** Ende einer *ZinsMath*EZ Analyse
$\begin{figure}\centering\EPSrot[1.0*]{0}{ezend.eps}\end{figure}$

**Figure 18:** Taggenaue Renditeanalyse via *ZinsMathEZ* 4 Excel
$\begin{figure}\EPSrot[0.50*]{0}{ezb.eps}\end{figure}$

Bibliography

1: Dubbel, Taschenbuch der Mathematik
2: Brockhaus, 4. aktualisierte Auflage, Brockhaus GmbH, Mannheim 1992
3: Wolfgang Eichholz und Eberhard Vilkner, Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik, Fachbuchverlag Leipzig, 1997
4: Günter Wöhe, Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, Verlag Vahlen, 2000
5: Jürgen Tietze, Einführung in die Finanzmathematik, Vieweg, 1996
6: Eckehard Wagner, Effektivzins von Krediten und Wertpapieren, Helmut Richardi Verlag, 1988
7: Alfred Hueck und Claus-Wilhelm Canaris, Recht der Wertpapiere, Verlag Franz Vahlen, 1986
8: Helmut Rüßmann,
http://ruessmann.jura.uni-sb.de/
Lehrstuhl für Bürgerliches Recht, Zivilprozessrecht und Rechtsphilosophie
Prof. Dr. Helmut Rüßmann,
Universität des Saarlandes, 2001
9: Michael Goosens, Frank Mittelbach, Alexander Samarin. Der L^ATEX Begleiter, Addison-Wesley, 1994

Warenzeichen

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Marktschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten sind und daher von jedermann benutzt werden durften.

Windows is a registered trademark of Microsoft Corporation in the United States and other countries.

Microsoft Excel is a registered trademark of Microsoft Corporation.

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The command line arguments were:
latex2html zinsmath-pdf.tex -local_icons -antialias_text -antialias -white -split 0 -address 'Torsten Wehner, wehner[at]zinsmath.de'

The translation was initiated by Torsten Wehner on 2006-10-05

Footnotes

... übertragen ¹: Verwenden Sie zum Schutz Ihres PC einen Firewall mit geschlossenem Port 21/tcp (ftp) können die Daten nicht übertragen werden. Versenden Sie die Datei in diesem Fall einfach via Email an mailto:register@zinsmath.deregister@zinsmath.de.
... halten.²: Diese Aussage kann nur für konservative Aktien (bekannte Namen) gelten.
... ausprobieren.³: Meinung des Autors
... gelassen.⁴: Diese Aussage ist ungenügend abgesichert, uns sind aber keine Beispiele bekannt, bei denen Kapitalbildende Lebensversicherungen 100 %ig annulliert wurden. Wenigstens in Bruchteilen wurden die Versicherungen ausgezahlt.
... Rückzahlungskurs ⁵: Man spricht hier oftmals auch vom Tilgungskurs
... sind ⁶: Diese Regeln lassen sich nicht zwangsläufig auf die Performance genannter Aktie anwenden.
... werden ⁷: Private-Site des Autors
... hohe ⁸: Die Frage, was viel oder wenig ist, muss im Einzelnen entschieden werden.
... haben ⁹: Die Versicherungen bieten in den Verträgen eine Reihe von Klauseln an, die besonderes "`Pech"' beschreiben, hier ist höchste Aufmerksamkeit geboten!
... Tilgungsanteil ¹⁰: Hier gibt es schon eine erste Ausnahme. Es gibt Kredite, bei denen zu Beginn der Laufzeit keine Tilgung durchgeführt wird
... Effektivzins ¹¹: Hierauf soll später noch gesondert eingegangen werden
... werden ¹²: Das Gesetz ist verabschiedet und kann in neuer Literatur in der Neufassung gelesen werden.
... PAngV ¹³: Mit Datum vom 01.09.2000
... ausrechnen ¹⁴: ZinsMath liefert diesen Parameter
... bestimmt ¹⁵: Wir geben der Übersicht halber das Ergebnis vor.
... richtig ¹⁶: Die Berechnungsgrundlage entspricht allerdings nicht den neuen Regelungen der PAngV
... Excel ¹⁷: Microsoft und Microsoft Excel sind Warenzeichen der Microsoft Corporation / USA
... Zahlungsströme.¹⁸: Voraussetzung für die Durchführung einer solchen Analyse ist eine ZinsMath Installation.

Torsten Wehner, wehner[at]zinsmath.de